Головна › Математика

Рівняння розмноження бактерій

Птн, 22/07/2011 - 20:54 — Irina

Матерiал для додатковоi роботи у класах природничо-математичного профiлю. 11 клас.

Рівняння розмноження бактерій

     Основним способом розмноження бактерій є нестатевий (поділ клітини навпіл). Крім того, бактерії здатні і до статевого розмноження. Але, зрозуміло, що швидкість розмноження бактерій пропорційна їх кількості, яка залежить від достатньої кількості їжі.

     Уявити швидкість розмноження і утворення бактеріальної маси допоможуть такі приклади. Якщо бактерія ділитиметься через кожні 20 хв., то з однієї бактерії за 24 год може утворитися 72 генерації. Це становить 472 • 1019 особин. Холерний вібріон за 30 год спроможний дати таке потомство, яке могло б покрити суцільним шаром усю поверхню Землі. Академік В.І. Вернадський у своїй праці «Очерки геохимии» наводить приклад: «За сприятливих умов одна бактерія за 4-5 днів може утворити 1036 особин, об'єм яких... дорівнює океану».

       Насправді ж у природі немає таких ідеальних умов, за яких бактерії могли б безперешкодно розмножуватися. Брак поживних речовин, несприятливі температурні умови, згубний вплив продуктів обміну, поїдання бактерій іншими організмами та багато інших чинників - усе це негативно позначається на розмноженні бактерій. Велика  швидкість розмноження прокаріотів - еволюційне пристосування до збереження виду.

       Надзвичайно важливою умовою процесу поділу бактерій є реплікація ДНК. Поділ клітини починається лише через деякий час по тому, як закінчиться реплікація ДНК. Є дані про те, що сигналом для поділу клітини є початок
реплікації молекули ДНК й що подвоєння ДНК і поділ клітин відбуваються зі швидкістю, властивою для кожного виду бактерій.

     У бактеріальній популяції постійно відбувається ріст, розмноження і відмирання бактеріальних клітин. Спостереження за розмноженням прокаріотів у замкнених системах на рідких живильних середовищах показують, що швидкість їхнього росту змінюється з часом. У живильному середовищі бактерії ростуть доти, доки вміст у ньому якогось із необхідних їм компонентів не досягне мінімуму; далі їхній ріст припиняється. Якщо протягом цього часу не додавати поживних речовин і не видаляти продуктів обміну, то дістанемо так звану статичну бактеріальну
культуру.

     Більшість бактерій - гетеротрофи, які поділяються на сапротрофи, паразити і симбіонти. Проте є і бактерії-хижаки, наприклад, бделловібріон. Деяким бактеріям властива здатність до „самопожертви". Якщо поряд із колонією певного виду бактерій з'являється колонія іншої бактерії-конкурента, одна бактерія (наприклад, кишечна паличка) із кожних декількох тисяч починає виробляти смертельну для ворожої бактерії речовину. Але при цьому вона гине від самоотруєння, рятуючи своїх сородичів. Також поряд із „індивідуальною" деякі бактерії здатні до масової самопожертви. Так, при недостатній кількості їжі, велика кількість бактерій колонії може самознищитися, розпавшись на частини, які будуть слугувати їжею для їхніх сородичів. Тобто, як бачимо, маса бактерій постійно змінюється.

     Швидкість приросту маси бактерій називається швидкістю розмноження. Нехай $ x(t) $ - маса всіх бактерій на момент часу $ t $. Тоді $ x'(t) $ - є швидкістю розмноження бактерій, яка пропорційна їх кількості. Існує таке $ k $, що $ x'(t)=kx $. Так як за умовою $ x(t) $ > 0, то і $ x'(t) $ > 0. Розглянемо такий випадок, коли $ k $ > 0, $ k ≠ 0 $, тому що при другій умові розмноження не відбувається. Ми отримали одне рівняння для визначення одного невідомого $ x $. Легко перевірити, що функція $ x=Ce^{kt} $, де $ C $ - деяка стала, є розв'язком рівняння $ x'(t)=kx $. Справді,

$ x'(t) $=$ (Ce^{kt})′ $=$ Cke^{kt} $=$ k Ce^{kt} $=$ kx $. Можна довести, що інших функцій, які є  розв'язками цього рівняння, не існує, тобто, що розв'язком рівняння є вираз:$ x=Ce^{kt} $.

     У нас залишилось невирішеним одне питання: чому дорівнює стала $ C $? Коефіцієнт $ k $ залежить від виду бактерій, яких існує величезна кількість, а також обов'язково від зовнішніх факторів. Наприклад, при несприятливих умовах бактерії перетворюються в цисту і не розмножуються. Графіки залежності кількості бактерій дифтерії та туберкульозу зображено на рисунку відповідно зеленим та рожевим кольорами:


Якщо відомі значення $ k $ і маса бактерій у деякий момент часу $ t_0 $, то за формулою $ x=Ce^{kt} $

знайдемо масу бактерій у будь-який довільний момент часу $ t $.Так як $ x(t_0)=m_0 $, тоді

$ m_0=Ce^{kt_0} $. Звідси знаходимо $ C $: $ C $=$ m_0e^{-kt_0} $. Тоді

$ x(t) $= $ m_0e^{-kt_0}Ce^{kt} $=$ m_0e^{k(t-t_0)} $.

Це і є шуканим рівнянням залежності маси бактерій від часу розмноження.

      Потрібно пам'ятати, що у природі існує величезна кількість процесів, які описуються такими ж диференціальними рівняннями, як рівняння розмноження бактерій.

Як людина використовує ріст і розмноження бактерій

      Чимало галузей харчової промисловості пов'язано з діяльністю мікроорганізмів (випікання хліба, виноробство, пивоваріння, отримання спирту, кисломолочних продуктів тощо). Лікарські засоби - антибіотики - також отримують у результаті діяльності мікроорганізмів. Для вдосконалення їхньої продуктивності використовують методи селекції. За
допомогою рентгенівського випромінювання і хімічних речовин прискорюють мутагенний процес і добором створюють кращі раси (штами) мікроорганізмів. Цим способом у селекційних рас у тисячі разів вдалося підвищити вихід низки антибіотиків, зокрема пеніциліну, порівняно з вихідними штамами мікроорганізмів, взятими для селекції з природи.
     Отримано дріжджові гриби, які синтезують кормовий білок із парафінів нафти, природного газу, відходів рослинництва (соломи зернових культур, стебел соняшнику, відходів лісового господарства). У кондитерській промисловості широко використовують лимонну кислоту, яку отримують в результаті життєдіяльності спеціально виведених мікроорганізмів. У світі нині виробляють близько 400 тис. т цього продукту. Таку кількість його не змогли б забезпечити жодні цитрусові плантації.

   Створюються штами мікроорганізмів, які здатні вилучати цінні метали із руд, промислових відходів для  виробництва бактеріальних добрив, стимуляторів росту і мікробіологічних засобів захисту рослин від шкідників і хвороб. Для виробництва цих та інших речовин за допомогою мікроорганізмів створено спеціальний напрям народного господарства - мікробіологічну промисловість. У промислових масштабах нині виробляють багато
амінокислот, які використовують як кормові добавки, вітаміни тощо.

    На початку XX ст., коли, здавалося б, людина навчилася отримувати від природи все, що можна, виникла нова наука - генетика. Проте минуло майже 50 років, доки її результати почали приносити користь. Свідомим поєднанням випадкових спадкових змін (мутацій) людина навчилася створювати все досконаліші сорти і породи, а також різновиди (штами) корисних мікроорганізмів, на основі яких виникла мікробіологічна промисловість.

ЛІТЕРАТУРА.

1. Векірчик К.М. Мікробіологія з основами вірусології. - К: Либідь, 2001. - 312 с.

2. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу. Підручник для учнів 11 класу. - К., Зодіак-ЕКО, 2006.

3. Самойленко С.А. та ін. Диференціальні рівняння в прикладах і задачах. - К., Вища школа, 1994.

4. Кучеренко М.Є. Загальна біологія. Підручник для учнів 11 класу. - К., Генеза, 2003.

5. http://www.ostriv.in.ua/index.php?option=com_content&task=view&id=4918&Itemid=-5

  • 11275 переглядів
  • Цитата

Коментарі

Додати новий коментар

  • Адреси сторінок і електронної пошти атоматично перетворюються у посилання.
  • Дозволені теги HTML: <a> <em> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <dd>
  • Рядки та параграфи відокремлюються автоматично.

  • Search Engines will index and follow ONLY links to allowed domains.

  • Ви можете цитувати інші фрази та коментарі користуючись тегом [quote].
  • You may insert videos with [video:URL]

Детальніше про опції форматування

CAPTCHA
Дайте відповідь на це запитання, щоб ми знали що ви людина, а не тупий робот )
G
A
c
D
E
c
Уведіть код без пробілів і з врахуванням верхнього/нижнього регістру.
Збір матеріалів Збір матеріалів