Персональна сторінка вчителя математики Ірини Кирдей

ГЕОМЕТРІЯ РІМАНА (ЕЛІПТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ)

Георг Фрідріх Бернгард Ріман (нім. Georg-Friedrich-Bernhard Riemann, 17 вересня 1826, Брезеленц, Ганновер - 20 липня 1866, Селаска, Італія) - німецький математик, навчався в Геттінгенському та Берлінському університетах, з 1857 року - професор Геттінгенського університету. Основні праці стосуються теорії функцій комплексної змінної, теорії чисел, математичного аналізу, математичної фізики та геометрії. В 1854 р. Ріман прочитав знамениту лекцію «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії» на філософському факультеті Геттингенського університету. Нажаль, лекція пройшла непомітною в математичному світі.
Важливий висновок був зроблений Б. Ріманом у дослідженні, присвяченому доведенню V постулата. Ріман, який у своїй роботі «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії», розвиваючи аналітичні принципи геометрії, прийшов до геометричної системи, яка відрізнялася як від системи Евкліда, так і від системи Лобачевського. Ця геометрична система називається геометрією Рімана.
Всі теореми геометрії Рімана в деякій мірі є тлумаченням теорем евклідової геометрії. Згідно цьому теореми геометрії Рімана виводяться з аксіом геометрії Евкліда. Звісно, не всі теореми евклідової геометрії допускають тлумачення у вигляді теорем ріманової геометрії; більшість евклідових теорем зовсім не мають ніякого відношення до фігур, які ми називаємо точками і прямими ріманової прлощини.
Таким чином, щоб отримати теореми ріманової геометрії з аксіом евклідової геометрії, потрібно здійснити деякі особливі висновки з цих аксіом.
Можливо, одначе, в основу геометрії Рімана покласти спеціальну систему аксіом, тобто ряд тверджень, які відносяться до понять зв'язку, порядку і рівності фігур ріманової площини, з яких всі інші твердження геометрії Рімана можуть бути виведені логічним шляхом, причому кожний висновок буде приводити до деякої теореми цієї геометрії.
У такому випадку при доведенні теорем геометрії Рімана стають байдужими всі властивості її фігур, окрім властивостей, обумовлених аксіомами. Тим самим аксіоматичне обгрунтування геометрії Рімана перетворює її в абстрактну геометричну систему. Називаючи словами «точка», «пряма» будь-які фігури, словами «лежать на», «ділять», «рівні» будь якіїх відношення, задовольняючі вимоги аксіом, ми будемо знаходити різні конкретні моделі абстрактної геометрії Рімана. Кожна система фігур, відношення яких задовольняють вимоги аксіом геометрії Рімана, може бути названа рімановою площиною. Таким чином, сфера з відображеними діаметрально протилежними точками є лише одною з безлічі різних ріманових площин.
Геометрія Рімана є необхідним доповненням до геометрій Евкліда і Лобачевського. Спільне дослідження цих трьох геометрій дозволило вирішити найбільш принципові геометричні питання XІX століття.

1.1. Особливості Ріманової геометрії

На площині Евкліда,так як і на площині Лобачевского, дві прямі можуть мати не більше однієї спільної точки, тоді як у сферичній геометрії, де роль прямих грають великі круги сфери, дві «прямі» завжди перетинаються у двох діаметрально протилежних точках сфери. Таким чином, у сферичній геометрії не має місця одне із самих важливих положень геомеметрій Евкліда і Лобачевського про те, що через дві різні точки проходить лише одна пряма. Геометрія Рімана схожа з сферичною геометрією, але в ній присутнє вищенаведене положення геометрії Евкліда і Лобачевського.
       В геометрії Рімана пряма визначається двома точками, площина - трьома точками, дві площини перетинаються по прямій. Ріман додав до числа аксіом слідуюче твердження: кожна пряма,яка лежить з даною прямою в одній площині, перетинає цю пряму. Це означає, що в геометрії Рімана зовсім відсутні паралельні прямі, а сума кутів будь-якого трикутника більше 1800. При цьому з'ясувалось, що площина Лобачевського є одним із окремих випадків ріманових площин.
Ріман, розвиваючи свою систему повинен був ще сильніше змінити евклідову аксіоматику, ніж Лобачевський.

1.2. Прямі на площині Рімана

В той час, як у евклідовій геометрії існує постулат про єдиність прямої, що проходить через дану точку і не перетинає дану пряму, а в геометрії приймається одне з заперечень цього постулата: допускається, що таких прямих існує безліч, - в геометрії Рімана існує інше заперечення: в цій геометрії будь-яка пряма перетинає іншу.
Розміщення прямих на площині Рімана ще в одному відношенні принципово відрізняється від розміщення прямих на площині Евкліда, чи на площині Лобачевського, а саме: пряма не ділить площину Рімана на дві частини. Це означає, що якими б не були пряма α і дві точки А і В, які належать цій прямій, завжди можна сполучити точки А і В відрізком так, що цей відрізок не перетне прямої α.

1.3. Ріманова площина.

Навідміну від Евклідової площини, яка має нульову кривизну, та площини Лобачевського, яка має постійну негативну кривизну, існують і площини, що мають позитивну кривизну. Саме на цій площині й існують трикутники, які мають сума кутів трикутника більшу за 1800. Помітити таку площину дуже легко. Нею є,наприклад, поверхня кулі. Домовимся вважати «прямою» на сфері будь-яке коло великого круга, тобто коло, яке утворюється при перетині сфери площиною, яка проходить через центр кулі. Врезультаті на сфері отримуємо вельми своєрідну геометрію. Отже, на сфері не може існувати ні геометрія Евкліда,ні геометрія Лобачевського. Що стосується трикутників, то сума їхніх кутів завжди більша 1800. В деяких випадках сума кутів трикутника може бути рівною 5400.

1.4. Фігури на Рімановій площині.

Метричні співвідношення в геометрії Рімана виражаються належним чином витлумаченими формулами сферичної геометрії. Кожна фігура М площини Рімана виявляється парою фігур М1 і М2 деякої сфери, симетрично розташовані відносно центру цієї сфери, причому кожна пара діаметрально протилежнижточок фігур М1 і М2 розглядабться як одна точка фігури М; згідно цьому кожне метричне співвідношення між елементами фігури М співпадає з метричним співвідношенням елементами фігури М1 чи фігури М2. Таким чином, наприклад, на рімановій площині сторона трикутника α виражаэться через двы ыншы його сторони b, с і протилежний кут α формулою:

Оскільки така формула виражає сторону трикутникана сфери радіусом R. При цьому мається на увазі, що ріманова пощина отримана шляхом відкладення діаметрально протилежних точок цієї сфери(радіуса R). Легко зрозуміти, що число R повинно бути задіяним і в інших метричних формулах, які відносяться до такої ріманової площини. Цілком зрозуміло, що це число (при заданому масштабі), характеризує ріманову площину,як і ту сферу, з допомогою якої ця ріманова площина утворена.
Також цілком зрозуміло, що чим більше R при порівнянні з розмірами будь-якої частини ріманової площини, тим менше відрізняються по своїм властивостям фігури, що лежать в цій частині, від евклідових фігур. Тому число R можна розглядати в якості «міри неевклідовості» ріманової площини. Відрізок, довжиною R, який лежить в цій рімановій площині, називається радіусом кривизни.

1.5. Фізична космологія.

Фізична космологія - підрозділ астрономії, який досліджує фізичне походження Всесвіту і його природу в найбільших масштабах. На раньому етапі свого розвитку, фізична космологія була тим, що зараз відомо як дослідження небосхилу та небесна механіка. Грецькі філософи Аристарчус Самоса, Арістотель і Птоломей запропонували різні космологічні теорії. Зокрема геоцентрична система Птоломея, яка відпочатку була побудована на космологічній моделі Арістотеля а згодом набула самостійного значення, довгий час слугувала для розрахунку та пояснення видимих рухів світил на небосхилі. Згодом, Ніколай Коперник запропонував значно простішу для розрахунків та уявного відтворення геліоцентричну модель сонячної системи, яка в той час утотожнювалась з моделлю Всесвіту. Йоган Кеплер, операючись на спостереження Тихо Браге, здійснив якісний матиматичний опис цієї моделі. Поряд з цим Галілео Галілей довів її правильність на основі власних спостережень та наукових методів досліджень, які сам тоді вперше сформолював. Роботи Галілея започаткували протистояння стрімко зростаючої фізичної космології, яка в той час була зародком науки, з релігійною космологією розширеною за рахунок космологічних поглядів Арістотеля що до руху світил на небосхилі. Наслідком такого протистояння став перегляд прихильниками релігійної космології деяких її категоричних тверджень та висновків зроблених на основі вчень Арістотеля, в той час як фізична космологія знайшла своє продовження в працях Ісаака Ньютона, який довершив створення цієї моделі формулюванням законів механіки та вивиденням закону тяжіння.
Відчутного поштовху у напрямку розвитку фізична космологія зазнала після створення спеціальної та загальної теорій відносності Альбертом Ейнштейном. В спеціальній теорії відносності знайшли своє математичне відображення революційні на той час зміни у поглядах на простір і час, які природньо виникли під час спроб пояснити незалежність швидкості світла від руху спостерігача відносно джерела, встановлену в експериментах Хука і Фізо та, більш точно, в експерименті Майкельсона. Згідно із цими поглядами, простір і час не є абсолютними та незалежними один від одного, а залежать від руху спостерігачів які їх вимірюють. Наступним важливим етапом для розвитку фізичної космології стала гіпотеза Ейнштейна про зв'язок геометричних характеристик простору-часу та енергетичних характеристик матерії - енергії та імпульсу. Ця гіпотеза явно чи неявно лежить в основі всіх створених на даний момент теорій гравітаційного поля, серед яких пальму першості та провідне місце по застосуванню займає загальна теорія відносності Ейнштейна, побудована на основі Ріманової геометрії чотиримірного простору-часу (4-простір сигнатури Мінковського).
Отже, запропоновані Ріманом ідеї та методи відкрили нові в розвитку математики й набули застосування в механіці та фізиці, зокрема в теорії відносності.
На застосуванні ріманової геометрії до побудови перспективи, створено новий напрямок у теорії зображень, що відбиває геометричні властивості психофізичного простору.