A journey of a thousand miles begins with a single step…

Множення найрізноманітніших чисел

Множення багатоцифрових чисел - джерело великої кількості помилок учнів різного віку. Звичка користуватись калькулятором для підрахунків зіграла погану послугу всім, що не достатньо засвоїв класичного множення "в стопчик". А ЗНО та інші іспити передбачають заборону на користування калькулятором! Тут може згодитися цікава схема такого множення для кмітливих та уважних.

 

 

 


 

Діофант, Διθφαητ

       Діофант – останній видатний математик античного світу. Про його життя майже нічого не відомо. Збереглася лише частина його праці «Арифметика», але саме вона була відправною точкою для теоретико-числових досліджень П.Ферма, Л. Ейлера, К Гаусса. Його ім’ям названо два великих розділи теорії чисел – теорія діофантових рівнянь та теорія діофантових наближень. Διθφαητ... Яка загадкова і яка харизматична постать! У цьому році для наукових досліджень була обрана теорія діофантових рівнянь.

Деталі - згодом.

2=1. Математика и право. Софизмы в математике и в жизни. ;-)

2=1

...

          Учитель повернулся к доске и написал: а = b.

- Откуда вы знаете? - раздался с задней парты ломающийся голос отличника Гойскера.

- Откуда я знаю что?

- Что "а" равно "бэ".

- Прекрасный вопрос, - кисло сказал учитель. - Я не знаю. Но я допустил. Если вы заметили, я сказал: предположим, что "а" равно "бэ".

Дождавшись, когда ученики успокоятся, учитель продолжал:

- Умножаем обе части уравнения на "а". Получается...

Он написал: a x a = a х b, то есть a2 = ab. Класс молчал.

- Отнимаем от обеих частей уравнения "бэ"-квадрат, - сказал учитель и написал: a2 - b2 = ab - b2. Класс молчал.

- А теперь... - сказал учитель, не в силах сдержать счастливой улыбки, - кто может сказать, что мы теперь делаем?

- Идём домой смотреть хоккей, - сказал отличник Рабунский. - Он явно был сегодня в ударе.

- Правильно, - сказал учитель. - Но не сейчас. До конца урока ещё пятнадцать минут. А пока продолжим доказательство. Что у нас в левой части уравнения? Разность квадратов члена "а" и члена "бэ", правильно? Чему равна разность квадратов? Она равна произведению суммы членов на их разность. А что в правой части? Общий множитель "бэ", который мы выносим за скобки. Преобразуем уравнение. Получается...

Он написал: (a + b) (a - b) = b (a - b).

- Понятно?

- Сокращаем обе части уравнения на "а" минус "бэ", - прокричал он, перекрывая ликующий гогот. - Получается...

Он написал: a + b = b.

Гогот не стихал. Учитель продолжал писать, одновременно выкрикивая:

- Так как "а" и "бэ" равны, заменяем в левой части "а" на "бэ". Получатся...

Он написал: b + b = b, то есть 2b = b.

- Сокращаем на "бэ". Получается: 2 = 1...

 

Извлечение квадратного корня "вручную". Метод Герона.

Метод Герона
        Для начала давайте научимся вычислять квадратный корень (т.е. решать простейшие квадратные уравнения) с помощью арифметических действий. Метод, который мы изложим, был известен ещё в Древней Греции и приписывается Герону Александрийскому. Герон жил в I веке н.э. и описал в своих книгах закон отражения света, формулу вычисления площади треугольника по трём сторонам, многочисленные механизмы. Интересно, что и в наше время метод Герона используется некоторых вычислительных машинах (может быть, и в вашем калькуляторе!). Обратимся к тексту самого Герона. Он объясняет свой метод на примере: пусть надо найти корень из 720.
        Так как 720 не имеет рационального корня, то возьмем корень с очень малой погрешностью следующим образом. Так как ближайший к 720 квадрат есть 729, и оно имеет корнем 27, поэтому разделим 720 на 27. Получается $ 26\frac{2}{3} $.
$ 26\frac{2}{3}+27=53\frac{2}{3} $. Разделим результат на 2, получим $ 26\frac{5}{6} $. Это и есть результат. Если возвести это число в квадрат, получим $ 720\frac{1}{36} $. Погрешность составляет 1/36 единицы. Но при желании погрешность может быть и меньшей. Для уменьшения величины погрешности процедуру следует проделать ещё и ещё раз с вновь полученой величиной. В нашем случае с числом $ 720\frac{1}{36} $.

В этом тексте Герона содержатся три идеи:


1) как выбирать начальное приближение;
2) как производить уточнение;
3) процесс можно повторять (итерировать).

    Начнём со второй идеи. Пусть нам надо вычислить $ \sqrt{a} $. Если выбранное нами приближение x0 меньше истинного значения корня, то число $ \frac{a}{x_0} $ - больше, и наоборот.Поэтому их полусумма $ \frac{1}{2}(x_0+\frac{a}{x_0}) $ будет ближе к искомому корню, чем $ x_0 $. Обозначим её за $ x_1 $.   

    Теперь третья идея: если полученной точности нам недостаточно, то можно повторить весь процесс уточнения, начиная уже с величины $ x_1 $: $ x_2=\frac{1}{2}(x_1+\frac{a}{x_1}) $.   Уточнения можно повторять и дальше, пока мы не достигнем нужной точности. Видим, что для достижения результата нужно проводить вычисления по одной и той же формуле. Такие однотипные вычисления называются итерациями. Если значение корня стремится к некоторому числу $ b $, то говорят, что итерационный процесс сходится к числу $ b $.    

    Наконец, первая идея: Герон предлагает выбирать в качестве $ x_0 $ число с ближайшим к a квадратом. Но его можно выбирать и из каких-то других соображений. Более того, если вы выбрали x0>0 неудачно - далеко от корня, то процесс всё равно будет сходиться к корню, только потребуется больше шагов.


Замечательное замечание. Не трудно придумать аналог метода Герона для поиска кубических корней числа:

$ x_1= \frac{1}{2}(x_0+\frac{a}{x^2_0}) $.


Доведення нерівностей

На шкільній олімпіаді з математики серед завдань для учнів 10-х класів було і завдання на доведення нерівності.

Задача.  Доведіть, що $  a^2+b^2+1\geq ab+a+b $.

Доведення. Аналіз умови. Нірвність мість дві змінні, що розміщені в умові нерівності симетрично ( заміна $ a $ на $ b $ призведе до такої ж нерівності). Отже, розвязками нерівності є множина пар чисел виду $ (\mp a; \pm b) $. Це дозволяє підібрати кілька пар чисел для перевірки.

Доведення проведемо так. Замінимо $ b $  на $ x $ та розглянемо нерівність з однією змінною $ x $ та параметром $ a $:

$ x^2+a^2+1 \geq ax+x+a $

$ x^2 - ax - x - a + a^2 + 1 \geq 0 $

$  x^2 - x(a+1) + (a^2 - a + 1) \geq 0 $.

Обчислимо дискримінант відповідного квадратного рівняння $  x^2 - x(a+1) + (a^2 - a + 1) = 0 $

$ D = (a+1)^2 - 4 (a^2 - a + 1)= - 3a^2 + 6a - 3 = -3(a^2- 2a + 1)= -3(a-1)^2 $.

Очевидно, що $ D $ набуває лише недодатних значень.

Якщо $ D = 0 $, $ a=1 $, то многочлен $ x^2 - x(a+1) + (a^2 - a + 1) $  тотожно рівний многочлену $  (x-1)^2 $, який набуває лише невід"ємних значень, тому нерівність $ x^2 - x(a+1) + (a^2 - a + 1) \geq 0 $ доведена.

Для випадку від"ємного дискримінанта,  $ a\epsilon R $ і нерівність $  x^2 - x(a+1) + (a^2 - a + 1) \geq 0 $ виконується для $ x\epsilon R $.

Отже, і нерівність $ x^2+a^2+1 \geq ax+x+a $ виконується для всіх значень $ a $ та $ x $. Тому і $  a^2+b^2+1\geq ab+a+b $ правильна для вісх значень $ a $ та $ b $. Доведено.

 

"Не хочу учиться, а хочу жениться" Как появилось математическое образование

У статті інтернетвидання ПОЛИТ.РУ розглядаються цікаві питання виникнення математичної освіти в Росії, минуле та майбутнє математично обдарованої молоді.

   

                                                                       Петро І                                                 Леонтій Магницький

      Петр I издал приказ, запрещающий человеку жениться, если он не окончил цифирную школу. Не всем это понравилось. Особенно купцы стали умолять, чтобы их детей освободили от цифирных школ: если купеческий сын не может стоять за прилавком, какой же он будет купец; некогда ему ходить в цифирную школу. Он и так считать умеет, без всякой школы. Петр все-таки купцам это разрешил, а потом священники стали настаивать, чтобы он освободил их детей от цифирной школы. То есть все старались от этой необходимости избавиться, а Петр I настаивал. Известная фраза: «не хочу учиться, а хочу жениться» имеет под собой основание. Всех заставляли учиться, и человек не имел право жениться, пока не кончит цифирную школу. Современные люди про эти цифирные школы не слыхали, поэтому высказывание Митрофанушки из «Недоросля» воспринимается как очень странное. А оно основано на вполне реальной ситуации.

       Был знаменитый учебник - «Арифметика» Магницкого. Знаете, откуда взялась фамилия Магницкий? Это был крестьянский сын, который отличился тем, что, прислуживая в своей деревне в церкви, знал все песнопения. Это был настолько яркий, видный парень, что его отправили учиться в монастырь. А там он тоже очень сильно выделился тем, что он буквально все схватывал налету. Тогда его отправили учиться в Славяно-греко-латинскую академию, где его познакомили с Петром I. Петр, увидев, насколько этот мальчик любознателен, сказал: «Ты будешь Магницкий, потому что к тебе все знания тянутся, как к магниту». Парень-то был крестьянином, фамилии не имел. Так он и стал Леонтием Филипповичем Магницким. Между прочим, сейчас в университете, на факультете Вычислительной математики и кибернетики есть математик, доктор физико-математических наук Николай Александрович Магницкий. Я уверен в том, что это потомок Леонтия Магницкого, потому что такой фамилии неоткуда было взяться.

Рівняння сфери в задачах ЗНО


Задача. При яких значеннях параметра а рівняння  $ x^2+y^2+z^2-10z=a^2-2 $ визначає сферу? Знайдіть: а) координати центра сфери; б) площу поверхні сфери; в) значення параметра а, при яких площина $ x+y=10 $ буде дотичною площиною до цієї сфери?

Взаємно однозначна відповідність у задачах ЗНО

Встановіть взаємно однозначну відповідність між точками 1) - 7) та площинами А) - Г).

А) x=y;
Б) x=z;
В) y=z;
Г) y=0.

1) A(-1;2;6);
2) B(Π; 3,14; sin Π);
3) C(sin1; tg1; cos0);
4) D(0; 4; √16);
5) E(log32;1;log23);
6) F(log39; 0;2);
7)G(1/2; 0,5; 1/3).

Вектори в задачах

Використаємо правило трикутника додаванння векторів для розвязування задач: АВ + ВС = АС.
Задача1. Відрізок АВ поділено точками С1, С2 і С2 на чотири рівні частини. Знайдіть ДОБУТОК кооординат точки В, якщо А(2; 5), а С3(3,5; 0,5).

Відповідь: -4.




Формула Кардано

Формула Кардано

Если воспользоваться современным математическим языком и современной символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарных соображений:
Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:
$ ax^3 + 3bx^2 + 3cx + d = 0 $                     (1)

Если положить $ x = y - \frac{b}{a} $, то мы приведем уравнение (1) к виду
$ y^3 + 3py + 2q = 0 $                                   (2)

где $ p = \frac{c}{a} - \frac{{b^2 }}{{a^2 }} $,   $ 2q = 2\frac{{b^3 }}{{a^3 }} - 3\frac{{bc}}{{a^2 }} + \frac{d}{a} $.
Введем новое неизвестное u с помощью равенства

$ y = u - \frac{p}{u} $.

Календарно-тематичне планування. Геометрія, 10 клас. Профільний рівень.

Календарно-тематичне планування створено на основі програми, призначеної для організації навчання математики в класах математичного, фізичного та фізико-математичного профілів. Її реалізація дозволить забезпечити для учнів можливість зміни рівня навчання математики в 10-11 класах, оскільки в ній містяться ті ж самі теми та збережена така ж послідовність їх вивчення, що й у програмі рівня стандарту. Зміст навчального матеріалу доповнено, а перелік навчальних досягнень учнів конкретизовано і уточнено у відповідності до фізико-математичного та математичного профілів навчання.

Матеріали календарно-тематичного планування курсу геометрії , 10 клас, профільний рівень - у вкладенні.

Календарно-тематичне планування. Алгебра і початки аналізу, 10 клас. Профільний рівень.

 

Календарно-тематичне планування створено на основі програми, призначеної для організації навчання математики в класах математичного, фізичного та фізико-математичного профілів. Її реалізація дозволить забезпечити для учнів можливість зміни рівня навчання математики в 10-11 класах, оскільки в ній містяться ті ж самі теми та збережена така ж послідовність їх вивчення, що й у програмі рівня стандарту. Зміст навчального матеріалу доповнено, а перелік навчальних досягнень учнів конкретизовано і уточнено у відповідності до фізико-математичного та математичного профілів навчання.

Матеріали календарно-тематичного планування курсу алгебри і початків аналізу, 10 клас, профільний рівень - у вкладенні.

Календарно-тематичне планування. Алгебра і початки аналізу, 10 клас. Академічний рівень.

На основі відповідної програми для академічного рівня створено календарно-тематичне планування курсу алгебри і початків аналізу 10 класу, академічного рівня для практичної роботи вчителя.

Повний текст - у приєднаному файлі.

Календарно-тематичне планування. Геометрія, 10 клас. Академічний рівень.

Із Інструктивно-методичного листа про вивчення математики у 2010-2011 році":

Академічний рівень. Мета навчання математики на академічному рівні полягає у забезпеченні загальноосвітньої підготовки з математики, необхідної для успішної самореалізації особистості у динамічному соціальному середовищі, її соціалізації і достатньої для вивчення профільних предметів, для успішної майбутньої професійної діяльності в тих сферах, де математика відіграє роль апарату, специфічного засобу для вивчення й аналізу закономірностей, реальних явищ і процесів. Змістове наповнення програми реалізує компетентнісний підхід до навчання, спрямований на формування системи відповідних знань, навичок, досвіду, здібностей і ставлення (відношення), яка дає змогу обґрунтовано судити про застосування математики в реальному житті, визначає готовність випускника школи до успішної діяльності в різних сферах.
Зміст навчання математики структуровано за темами двох навчальних курсів „Алгебра і початки аналізу" та „Геометрія" із зазначенням кількості годин на їх вивчення. Такий розподіл змісту і навчального часу є орієнтовним. Вчителям і авторам підручників надається право коригувати його залежно від прийнятої методичної концепції та конкретних навчальних ситуацій.

На основі відповідної програми для академічного рівня вивчення геометрії у вкладенні - календарно-тематичне планування курсу геометрії 10 класу, академічного рівня, для практичної роботи вчителя.

Команда України на Міжнародній учнівській олімпіаді з математики 2010 року

З 1 по 14 липня 2010 року у столиці Республіки Казахстан, місті Астані, відбулась 51-а Міжнародна учнівська олімпіада з математики. У змаганнях юних математиків взяли участь 517 учасників (серед яких тільки 47 дівчат) з 97 країн світу, школярі віком від 15 до 19 років. Україну на змаганнях представляли переможці та призери ІV етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики, - учні Києво-Печерського ліцею «Лідер» №171 та Харківського фізико-математичного ліцею №27. Всі члени команди повернулись з нагородами: команда України здобула 1 золоту, 2 срібні та 3 бронзові медалі.

На фотографії:
Веклич Богдан (золота медаль)
Хрущов Тимур (срібна медаль)
Теплова Дар'я (бронзова медаль)
Лавинська Тетяна (бронзова медаль)
Жениленко В'ячеслав (бронзова медаль)
Чорний Максим (срібна медаль)

Презентація програми

Презентація програми

Використання ланцюгових дробів. Задача про провідники.

Задача. За допомогою довільної кількості одиничних опорів побудувати електричне коло , що має опір 10/7...

 

Обчислення функцій за допомогою ланцюгового дробу

Окрім степеневих рядів, при обчисленні елементарних функцій на ПК використовуються також ланцюгові дроби.

51-ша Міжнародна математична олімпіада завершилась

Керівники, учасники команди та спостерігачі на 51 Міжнародній олімпіаді з математики.

З 2 до 14 липня у Казахстані відбулася 51-ша ММО, разом із завершенням цього заходу можна вважати завершеним і весь олімпіадний рік в Україні. А тому доречно підвести певні підсумки.

Кенгуру_2010, семінар координаторів у місті Яремче

Традиційний семінар координаторів Міжнародного математичного конкурсу "Кенгуру" в Україні проходив у місті Яремче. Крім семінару, прогами обміну, генерації задач та цікаво спілкування, програма передбачала сходження на Говерлу.

Розвязуємо задачі. Геометрія

Точка на ребрі тетраедра....

Розвязуємо задачі. Геометрія. Планіметричні несподіванки

Задачі Юрія Захарійченка мають сучасне звучання, вчать мислити логічно і... готують до ЗНО!

Збір матеріалів Збір матеріалів