A journey of a thousand miles begins with a single step…

Проведення уроків узагальнення та систематизації

        Уміння узагальнювати - важливий компонент розумового розвитку школярів. Сучасна дидактика розуміє під узагальненням перехід на більш високу ступінь абстракції шляхом визначення загальних рис предметів, що вивчаються. Методика навчання узагальненням завжди привертала увагу психологів та педагогів-практиків, які працювали над цим аспектом викладання. У роботах О. Кужеля, Д. Горського, А. Цукаря, Р. Черкесова, та більш ранніх дослідженнях Д. Пойя, У. Сойєра розглянуто найпоширеніші прийоми узагальнення:
-матричне узагальнення;
-за аналогією;
-заміною означення;
-введенням до розгляду параметрів;
-заміною доведення тощо.                                                                     ПОВНИЙ ТЕКСТ СТАТТІ - у вкладенні.

Методи математичних доведень

Методи математичних доведень.

(From Dick A. Wood in The Mathematics Teacher November 1998 and from Steve Phipps)

Сподіваємося, Вам сподобається наша колекція улюблених жартів математиків та жартів про методи математичних доведень. Якщо теорему не вдаєься довести одразу, це може бути тому, що ви обрали неправильний підхід. Нижче наведені деякі ефективні методи математичних доведень, що допоможуть рухатись Вам у правильному напрямку.

* Доведення прислівниками: "Як цілком ясно, вищезгадане елементарне твердження, очевидно, справедливо''.

* Доведення від очевидного: "Доведення настільки очевидне, що його не варто наводити".

* Доведення на основі загальної згоди: "Всі згодні ?..."

* Доведення силою уяви: "Ну, ми уявимо, що це вірно''.

* Доведення із зручності: "Було б дуже добре, якби це було вірно, так що ...''

Анекдоти про математиків

1. Тільки неписьменна людина на питання "Як знайти площу Леніна?" відповідає "Довжину Леніна помножити на ширину Леніна ..." А грамотний знає, що треба взяти інтеграл по поверхні!


2. Не можете знайти роботу? Помножте час на потужність!


3. Математик організував лотерею, в якій приз є нескінченною сумою грошей. Коли виграшний квиток витягнуть, радісний переможець починає вимагати приз, математик пояснює спосіб оплати: "1 долар тепер, 1 / 2 долари на наступному тижні, 1 / 3 долара ще через тиждень ..."


4. У магазин заходить нескінченне число математиків. Перший просить кілограм картоплі, другий - півкіло, третій - чверть ... "Зрозумів," - каже продавець і кладе на прилавок два кілограми.


5. Першокурсник підходить до п'ятикурсника і каже:
- Пам'ятаєш інтеграл x по dx?
- Не-а, от якщо по dy ...

Ще...

Історія математики

"Історія математики". Відеоролик англійською. Тривалість 7:05 хв. Прекрасна нагода провести бінарний урок "Математика-англійська мова"!

Пролема вибору з точки зору теорії імовірності

       Проблема Монті Холла, або проблема прийняття рішення поставала перед кожним із нас хоч раз у житті. Як збільшити свої шанси на успіх за допомогою теорії імовірності? Про це у відеосюжеті...

Четвертий вимір - наочне пояснення

           Швейцарський математик Людвіг Шлефлі наочно на прикладі многогранників пояснює природу четвертого виміру...

Где доллар?

Задача, над розв*язком якої міркував сам А. Ейнштейн




Гра в імітацію

Життєва історія видатного і харизматичного англійського математика Алана Тюринга. Завдяки своєму високому інтелекту, безмежній ерудиції і аналітичному способу мислення, він допомагає зламати код фашистської системи передачі повідомлень Enigma в період Другої Світової Війни. Очоливши невеликий колектив математиків і аналітиків, Алан поступово рухається до складної і майже недосяжної мети, в яку вже, здавалося б, ніхто не вірить окрім нього. Однак, домігшись результату, Алану доводиться платити дуже дорогу ціну за власний винахід.

http://ukino.org/filmy-onlajn/2014/24844.html

Приховані фігкри

  1960-і роки. Під час космічніх перегонів між США і СРСР, NASA залучає до роботи групу талановитих афроамериканок-математиків. Не звертаючи уваги на прояви расизму і сексизму, Кетрін Джонсон, Дороті Он і Мері Джексон стають учасницями однієї з найвизначніших подій в історії США: завдяки їх обчисленням відбувся легендарний перший запуск американського астронавта Джона Гленна на орбіту Землі ...

   «Приховані фігури» (англ. Hidden Figures) — американський драматичний фільм, знятий Тедом Мелфі за однойменною книгою Марго Лі Шеттерлі, яка написана на основі реальних подій. Прем'єра стрічки в Україні відбудеться 23 лютого 2017 року. Фільм розповідає про групу афро-американок, яка проводить для НАСА ряд математичних обчислень, необхідних для запуску першої космічної місії.

http://moviestape.net/katalog_filmiv/drama/9129-pryhovani-figury.html

Людина, яка пізнала нескінченність

Унікальний фільм розповість нам історію геніального математика Срініваса Рамануджана, який жив в минулому столітті.

Чоловік не мав ні освіти, ні грошей для наукової діяльності. Дорогу в Кембридж хлопцю відкриває професор Гарді. Вчений повірив у талант молодого самоучки.

Рамануджан заради мрії залишає свій будинок в рідній Індії і велику любов. Формули, які "народжуються" в голові Срініваса, він й сам не може пояснити. Хлопець вважає, що цей дар згори...

Героя чекають серйозні випробування: презирство, заздрість, жорстоке поводження колег. Адже європейські вчені не готові прийняти за свого цього екзотичного математика.

https://ovg.cc/ua/filmy-online/m/85060

Вимірюючи світ

 

   

 Пригодницька одісея в 3D "Вимірюючи світ" за одноіменним бестселером Даніеля Кельмана.  Німеччина початок 18 століття. Аристократу Олександру фон Гумбольдту було з народження призначено насолоджуватися життям в родовому замку, виїжджати на світські раути і полювання. Але Олександр з дитинства мріяв про небезпечні подорожі. Синові бідняків Карлу Гаусу було з народження призначено повторити нелегку долю батьків. Але яскравий талант Карла допоміг йому вибратися з самого дна. Олександру було призначено стати видатним натуралістом, а Карлу - великим математиком. Доля рухала цих одержимих людей назустріч один одному до епохальної зустрічі...


Ігри розуму / Beautiful Mind

Він завжди був генієм. Джон Форбс Неш молодший вже на самому початку своєї кар'єри провів величезну роботу. Його внесок в області ігор просто підірвав частину математики - Джон став відомий у всьому світі. Але блискучий початок кар'єри не обіцяв нічого доброго зарозумілому Казанові та улюбленцю світових премій.

Одного разу Джон отримує удар, який робить його життя зовсім іншим. Життя Джона круто змінитися, коли він дізнається про діагноз, поставлений лікарями - "параноїдальна шизофренія".

https://ovg.cc/ua/filmy-online/m/76694

Доведення\Proof

Доведення. Кетрін, геніальна дочка геніального і божевільного математика після його смерті знаходить доведення теореми про прості числа, над яким безуспішно билися протягом довгого часу багато людей. Математики в цьому фільмі мало, але ідейно вона присутня. Кетрін насилу намагається примиритися зі смертю свого батька, видатного математика, геніальність якого межувала з безумством. Пережити горе, подолати давно приховувані страхи і подолати душевну пригніченість їй допомагає один з колишніх учнів батька, Хел, який вчитеується  в записники ученого в надії знайти ще одине доведення його величі. У той час як Кетрін з жахом думає про те, яку ціну доведеться їй заплатити за успадкований нею дар, до неї приїжджає сестра, яка вирішила допомогти залагодити справи їх батька ...


Міжнародні олімпіади школярів 2011 року. Математика.

       Команди українських школярів готуються до участі у міжнародних учнівських олімпіадах 2011 року. Для популяризації національної освіти на світовому рівні та розширення міжнародних зв'язків команди школярів України щороку беруть участь у міжнародних учнівських олімпіадах з математики, фізики, хімії, біології, інформатики, екології, географії та астрономії.
         Міжнародні олімпіади - високо авторитетні інтелектуальні змагання, учасниками яких є команди з багатьох країн світу. Юні інтелектуали України щороку показують високі результати у цих змаганнях.
Високі досягнення українських школярів у міжнародних змаганнях сприяють зміцненню авторитету нашої держави, розширенню міжнародних зв'язків, свідчать про значний потенціал творчої молоді, підтримка якої є запорукою розвитку нашої країни.
     Команди­ - учасниці міжнародних олімпіад від України формуються за підсумками ІV етапу Всеукраїнських учнівських олімпіад та відбірково-тренувальних зборів.
     До складу команд школярів, учасників міжнародних учнівських олімпіадах 2011 року, увійшли талановиті учні з різних регіонів України: шість учнів з м. Києва, по п'ять учнів з Українського фізико-математичного ліцею Київського національного університету імені Тараса Шевченка та Харківської області, три учні з Львівської області, по одному учню - з Кіровоградської, Луганської, Хмельницької та Чернівецької областей.
     Команда з математики поїде цього року в Нідерланди (м. Амстердам). Змагання триватимуть з 12-24.07. У складі команди:
Баган Олександр, учень 11 класу природничо-наукового ліцеюN 145 м. Києва;
Ківва Богдан, учень 10 класу Києво-Печерського ліцею N 171 «Лідер» м. Києва;
Кіслінський Олексій, учень 11 класу Харківського навчально-виховного комплексу N 45 «Академічна гімназія»;
Мулярчик Кирило, учень 11 класу фізико-математичного ліцею N 208 м. Києва;
Родіонов Георгій, учень 11 класу Харківського фізико-математичного ліцею N 27;
Руденко Олександр, учень 10 класу Києво-Печерського ліцею N 171 «Лідер» м. Києва.

Побажаємо успіхів та пермог нашій команді!


Звіти про проведення підсумкових контрольних робіт 2011

У 2011 році учні 5-8 класів пишуть підсумкові контрольні роботи. Не будемо торкатися тут мети та методики їх проведення. Наведемо лише зразки звітів про проведення підсумкових контрольних робіт з математики. Джерело.

3DG лабораторія

Задачі...Інтерактивні 3D моделі-ілюстраціі...Варіант розвязання...Саме в такому вигляді можна побачити у лабораторії 3dg паперовий Збірник завдань для самостійних та контрольних робіт з геометрії, 10 клас (авт. Мерзляк А.Г. та ін.). Для практичного використання вчителя просто дуже корисно. Робота над задачами проводиться у мультимедійному класі, використання матеріалів - у режимі онлайн.

Math on-line

         Інформатизація суспільства, зокрема розвиток засобів комп’ютерної графіки дуже плідно впливає як на розвиток самої інформатики, так і на розвиток геометрії, особливо її алгоритмічних аспектів.

         Іншими словами, досягнення в геометрії стимулюють розвиток інформатики, яка, в свою чергу, ставить перед геометрією все нові задачі. Цікавим є те, що досягнення комп’ютерної графіки дозволяють створювати програми, які можна плідно використовувати для розвитку самої геометрії.

       Це, перш за все, моделюючі програми, які дозволяють будувати геометричні моделі досліджуваних об’єктів, маніпулювати ними (тобто інтерактивно змінювати їх параметри), спостерігати за динамікою змін параметрів цих моделей  в режимі on-line.  Цей розділ сайту про них.

Динамічна геометрія

Пакет програм "Динамічна геометрія" ("DG") Харківських вчених С.А. Ракова та К.О. Осенкова є надійним та перевіреним супутником учителя математики, що виклристовує мультимедіа у своїй роботі. Він містить:

1. Графічне середовище для створення та дослідження геометричних фігур.

2. Графічний калькулятор для побудови графіків функцій та рівнянь з двома змінними.

3. Методичні рекомендації для вчителя.

4. Методичні рекомендації для учня.

5. Настанова користувачу.

Зауважимо також, що DG мають потужний інструмент макроконструкцій, який дозволяє на практиці реалізовувати ідеї вирівнюючої методики (якщо деяку задачу розв'язано у загальній формі, надалі алгоритм її розв'язування можна використовувати як чорний ящик, задаючи вхідні параметри побудов і зразу отримуючи побудову). Геометричні примітиви в DG можна задавати як за допомогою візуального конструювання, так і за допомогою аналітичного задання - це дає можливість на практиці скористатися усіма перевагами аналітичної геометрії.

Пропедевтика вивчення геометрії у 6 класі

        Перше знайомство з геометрією відбувається у кожної людини по-різному, але в кожного це стається в перші ж годоини після народження. Немовля розуміє, що все на дотик має різну форму.

        Класифікація найпростіших геометричних фігур у початковій школі та життєвий досвід перших десяти років життя готує шестикласника до певних узагальнень.

        Для роботи в цьому напрямі була створена (у 2002 році) комп*ютерна презентація про властивості геометричних фігур, найпростіші формули та їх застосування для учнів 6-го класу  (у вкладенні).

Тіла обертання

Для викладання стереометрії з використанням мультимедіа пропонується серія рисунків до задач, теорем чи інших ситуативних випадків взаємного розташування тіл обертання та многогранників, для практичного використання вчителів. PPT - у вкладенні.

Демонстраційні тести ЗНО

Серед різноманітних інструментів підготовки до ЗНО 2011 з математики актуальним залишається посібник Ю.О. Захарійченко, О.В. Школьний "5 кроків до успіху". Особливістю цього посібника, принциповою рисою, яка відрізняє його від усіх інших, є те, що тренувальні тести згруповані у так звані Кроки - пари тестів, які розташовані у порядку зростання рівня їх складності.Крім того, посібник містить довідник з математики згідно з програмою ЗНО і, УВАГА!, демонстаційні тести! Це тести, що містять РОЗВ*ЯЗАННЯ усіх задач з поясненнями, схемами, графіками та рисунками. Розгляньте будову тесту, використайте його для самостійної роботи з послідуючою самоперевіркою - це найкорисніше - та приступайте до розв*язання решти тестів. Успіхів Вам.
Демонстраційні тести № 1 та № 2 - у вкладенні.

Microsoft Mathematics 4.0

Microsoft Mathematics 4.0 являє собою графічний калькулятор, що будує двовимірні та тривимірні графіки, забезпечує покрокове розв'язання рівнянь, надає доступ до корисних інструментів, призначених для розв'язання математичних задач і задач з інших предметів.

Microsoft Mathematics 4.0 включає великий набір інструментів, засобів та інструкцій, створених з метою надання студентам допомоги у процесі розв'язання математичних та наукових завдань. Використовуючи дану програму учні мають нагоду навчитися розв'язувати рівняння крок за кроком, отримати кращі уявлення про основи алгебри, тригонометрії, математичних обчислень, фізики та хімії.

Microsoft Math доступний для завантаження абсолютно безкоштовно з 12 січня 2011 року за адресою Центру Завантажень Майкрософт: http://www.microsoft.com/downloads/en/details.aspx?FamilyID=9caca722-5235-401c-8d3f-9e242b794c3a

Властивості паралельного проектування

Завтра у 10-А відкритий урок з геометрії на тему "Властивості паралельного проектування". Конспектр уроку викладаю тут, для практичного використання вчителів та творчої адапції до конкретних умов різних класів.


Геометрія, 10 клас.

Тема. Властивості паралельного проектування та їх застосування до розв'язування задач.

.........................................

Мотивація навчальної діяльності у вивченні теми «Властивості паралельного проектування та їх застосування».

Художник малює картину, конструктор креслить креслення, фотограф фотографує, і водночас всі вони виконують одну справу - відображають просторові фігури на аркуші (площині). Процес відображення точок простору на площину називається проектуванням. Зображення, що отримується при проектуванні називається проекцією. Слово проекція виникло від латинського projection - кидання вперед, вдалину. Щось схоже на проекцію можна спостерігати, розглядаючи тінь, що відкидається предметом на поверхню стіни або підлоги при освітленні цього предмета джерелом світла.

Для правильного зображення на площині плоских геометричних фігур, розташованих у просторі, необхідно знати та вміти використовувати закони паралельного проектування. Жодне зображення на кресленні, на картині, тим більше - при фото чи кінозйомці не порушує цих законів. Повторимо їх сьогодні і ми та навчимося застосовувати для побудови рисунків до геометричних задач.

ВЕСЬ КОНСПЕКТ УРОКУ - У ВКЛАДЕННІ.

Геометрія сфери та картографія

         Картографія та її методи Картографічні проекції (рос. картографические проекции, англ. cartographic projections, нім. kartographische Projektionen) – способи зображення земного сфероїда на площині, при яких кожній точці М зображуваної поверхні відповідає точка М', яка назива-ється її зображенням на площині. Зв'язане з цим перетворення зображення неминуче приводить до спотворювань. Проте деякі характеристики картографічної сітки, нанесеної на поверхню глобуса, можуть бути збережені і на карті за рахунок інших характеристик, що піддадуться перекручуванню.


         Картографічні проекції можна класифікувати по виду допоміжної геометричної поверхні, що може бути використана при її побудові. Візьмемо прозорий глобус з нанесеними на його поверхню лініями меридіанів і паралелей і крапкове джерело світла. Ми можемо укласти глобус (із джерелом світла, розташованим у центрі кулі) у циліндр. Задачею картографа є вибір проекції, що максимально відповідає задачам даної карти.

Геометрія Рімана

                На площині Евкліда,так як і на площині Лобачевского, дві прямі можуть мати не більше однієї спільної точки, тоді як у сферичній геометрії, де роль прямих грають великі круги сфери, дві «прямі» завжди перетинаються у двох діаметрально протилежних точках сфери. Таким чином, у сферичн

ій геометрії не має місця одне із самих важливих положень геомеметрій Евкліда і Лобачевського про те, що через дві різні точки проходить лише одна пряма. Геометрія Рімана схожа з сферичною геометрією, але в ній присутнє вищенаведене положення геометрії Евкліда і Лобачевського.
В геометрії Рімана пряма визначається двома точками, площина - трьома точками, дві площини перетинаються по прямій. Ріман додав до числа аксіом слідуюче твердження: кожна пряма,яка лежить з даною прямою в одній площині, перетинає цю пряму. Це означає, що в геометрії Рімана зовсім відсутні паралельні прямі, а сума кутів будь-якого трикутника більше 1800. При цьому з'ясувалось, що площина Лобачевського є одним із окремих випадків ріманових площин.
Ріман, розвиваючи свою систему, ще сильніше змінив евклідову аксіоматику, ніж Лобачевський. Отже, запропоновані Ріманом ідеї та методи відкрили нові в розвитку математики й набули застосування в механіці та фізиці, зокрема в теорії відносності.
На застосуванні ріманової геометрії до побудови перспективи, створено новий напрямок у теорії зображень, що відбиває геометричні властивості психофізичного простору.

Теорема про суму кутів трикутника та гносеологічна теорія Всесвіту

       Кожний семикласник вивчає в школі геометрію Євкліда і знає, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів. Проте, якщо трикутник розташувати на зовнішній поверхні сфери, то цю рівність буде порушено.

       Першим вченим, що піддав сумніву універсальність геометрії Евкліда у масштабах Всесвіту, був М.І. Лобачевський.

      Лобачевський виходив з того, що якщо реальний простір не можна повністю описати за допомогою законів Евклідової геометрії, то сума кутів трикутника, розташованого на небесній сфері, буде меншою за 180 градусів.

       Вершини такого експериментального трикутника були вибрані Лобачевським там чином: одна вершина на Землі, друга - на Сонці, а третя на зірці Сіріус, сузір'я Великого Пса. Якщо б сума кутів цього трикутника виявилась меншою 180 градусів, то у неевклідової геометрії виникла б модель, краща за всі існуючі моделі - природа. Але сума кутів цього трикутника була меншою за 180 градусів на таку незначну величину, що не виходила за рамки допустимої похибки вимірювань.

 

Псевдосфера

      Коли дитина, що гуляє по тротуару, тягне візочок по дорозі, то візочок описує лінію , яка називається трактрисою (що означає «лінія ведення»).
Беручи границю тротуару, вздовж якої йде дитина, за вісь обертання і обертаючи навколо неї трактрису, ми дістанемо поверхню обертання . Цю поверхню називають псевдосферою. Вона має чудову властивість: якщо гнучка плівка щільно прилягає до якої-небудь частини цієї поверхні, то вона може ковзати по ній в якому завгодно напрямі не зморщуючись і не відстаючи від поверхні.
Для істот, які жили б на псевдосфері (на відміну від нас, які живуть на сфері) панували б закони не нашої звичайної евклідової геометрії, а закони неевклідової геометрії Лобачевского.

Множення найрізноманітніших чисел

Множення багатоцифрових чисел - джерело великої кількості помилок учнів різного віку. Звичка користуватись калькулятором для підрахунків зіграла погану послугу всім, що не достатньо засвоїв класичного множення "в стопчик". А ЗНО та інші іспити передбачають заборону на користування калькулятором! Тут може згодитися цікава схема такого множення для кмітливих та уважних.

 

 

 


 

Збір матеріалів Збір матеріалів