Коло дев*яти точок і пряма Ейлера

Коло дев'яти точок і пряма Ейлера

Розглянемо довільний трикутник. Теорема Ейлера про коло дев'яти точок говорить: основи висот, середини сторін і середини відрізків, що з'єднують ортоцентр - точку перетину висот - з вершинами трикутника, лежать на одному колі - колі дев'яти точок.

Коло дев'яти точок

Окружность девяти точек

Змінюючи таний трикутник, отримаємо динамічну картинку. 

Мультфильм об окружности девяти точек

При гомотетії с центром в ортоцентрі трикутника і коеффіцієнтом 1/2 описане коло навколо трикутника  переходить в коло дев*яти точок.

Гомотетия с центром в ортоцентре треугольника

При цій гомотетії центр описаного кола переходить в центр кола дев*яти точок.Отже, центр кола дев*яти точок — середина відрізкака, що з*єднує ортоцентр трикутника с центром його описаного кола.

Центр окружности девяти — середина отрезка, соединяющего ортоцентр треугольника с центром его описанной окружности

   При гомотетии з центром в точці перетину медіан і коефіцієнтом -1/2 вершини трикутника переходять у середини протилежних сторін. Тому при цій гомотетії висоти переходять в серединні перпендикуляри, а ортоцентр - в центр описаного кола. Це означає, що центр ваги трикутника (точка перетину його медіан) лежить на відрізку, що з'єднує ортоцентр і центр описаного кола, і розташована вдвічі ближче до центру описаного кола, ніж до ортоцентру.

Таким чином, центр описаного кола, центр ваги, центр кола дев'яти точок і ортоцентр лежать на одній прямій - прямий Ейлера.

Прямая Эйлера

Ось як рухається пряма Ейлера при переміщенні вершин трекутника.

Мультфильм о прямой Эйлера

А  так виглядає пряма Ейлера і коло дев*яти точок, зображені на одному рисунку.

Прямая Эйлера и окружность девяти точек

А так це виглядає в динаміці!

Мультфильм о прямой Эйлера и окружности девяти точек

Коментарі

Зображення користувача Irina.

     У рубриці "Задача тижня"

     У рубриці "Задача тижня" пропонуються задачі , розв*язання яких приймаються в зазначені терміни. Надсилати розв*язання можна коментарем в цьому пості (вони не відображатимуться для всіх до кінця терміну) або електронною поштою, скориставших кнопкою в правому верхньому куті "Якщо є запитання" з поміткою в темі листа "Задача тижня". Для моїх учнів заоахочувальним фактором буде позитивна оцінка і приз за правильне розв*язання або ціккаву ідею. Для всіх інших відвідувачів - відзнака на сайті.

Задача тижня 14-20.12. 2015 року

У трикутнику АВС кут А дорівнює 50о, кут С дорівнює 70о, точка D належить AB, точка F належить BC. Ці точки розміщені так, що кут  DAC дорівнює куту FAC і обидва дорівнюють по 30о. Знайдіть градусну міру кута CDF.

Зображення користувача Настя.

А як так, що кут DAC

А як так, що кут DAC дорівнює 30 градусів, якщо точка D належить AB, а кут А дорівнює 50 градусів? На мою думку це неможливо або я щось не розумію)

Додати новий коментар

  • Адреси сторінок і електронної пошти атоматично перетворюються у посилання.
  • Дозволені теги HTML: <a> <em> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <dd>
  • Рядки та параграфи відокремлюються автоматично.
  • Search Engines will index and follow ONLY links to allowed domains.

  • Ви можете цитувати інші фрази та коментарі користуючись тегом [quote].
  • You may insert videos with [video:URL]

Детальніше про опції форматування

CAPTCHA
Дайте відповідь на це запитання, щоб ми знали що ви людина, а не тупий робот )
5
5
i
t
u
a
Уведіть код без пробілів і з врахуванням верхнього/нижнього регістру.
Збір матеріалів Збір матеріалів