Етьєн Безу, автор теореми свого імені

     Історія появи нових математичних теорій нерозривно пов’язана з історією епохи. Нові методи, що виникали на стиках кількох наук, цілком відображали потреби суспільства. Тому вивчаючи чергову теорему чи метод не менш важливо пояснити причини виникнення цих знань, їх вплив на хід історії математики зокрема та історії суспільства в цілому. Використання фактів з історії математики на уроках наповнює саму математику гуманітарним та естетичним змістом, є дотатковим мотивуючим важелем для її опанування.

      Одним із важливих вмінь, що набувають учні в процесі вивчення математики, є вміння розв′язувати алгебраїчні рівняння вищих степенів. Цьому разом з теоремою Вієта, формулами Кардано і Тарталья, сприяє й теорема Безу та наслідки з неї.

Етьє́н Безу́ (фр. Étienne Bézout; 31 березня 1730 — †27 вересня 1783) — французький математик, член Паризької АН (з 1758). Працював головним чином у галузі вищої алгебри, розробив методи розв'язування систем алгебраїчних рівнянь довільного степеня, довів теорему (1774), названу його іменем: кількість розв'язків системи n рівнянь, степені яких є m1, m2 ..., mn, в найзагальнішому випадку дорівнює добуткові m1·m... ·mn.

Другий син П'єра і Елен Безу, Етьєн Безу народився 31 березня 1730 року, в місті Немуро, Франція. Життя його сім'ї було пов'язано з політикою, його батько і дід служили в якості окружних суддів. Замість того, щоб слідувати їх прикладу, Безу, на якого в ранньому віці вплинув Леонард Ейлер, вибрав кар'єру в царині математики.

У віці 28 років, Безу став членом Французької Королівської Академії наук. З 1763 року Безу викладав математику в училищі гардемаринів. П'ять років потому, в 1768 році, почав працювати з кандидатами в артилерійські офіцери. Значна частина його робіт мала практичний характер. Викладання спонукало Безу  проводити дослідження. З 1762 року він працював над проблемами алгебраїчних рівнянь.

Багато сучасників захоплювалися Безу, його вмінням просто пояснювати складні питання. Однак знайшлися й такі, що звинувачували його за спрощений підхід до дисципліни. Справді, Безу займався розв’язуванням алгебраїчних рівнянь, пов'язаних з використанням детермінантів, не зупиняючись на теорії методу.

Хоча він провів важливі дослідження в області алгебраїчних рівнянь, Етьєна Безу пам'ятають, перш за все, за його внесок у математичну освіту. Найбільш помітним був шеститомний підручник «Курс математики», який він писав 5 років, з 1764 по 1769 рік, якраз коли працював учителем французьких військових. Викладаючи, Безу був переконаний, що для підготовки артилерійських офіцерів краще відмовитися від теоретичного підходу на користь практичного, і в результаті з’явився дуже зрозумілий підручник. Цей підручник свого часу вплинув на викладання математики по обидві сторони Атлантики.

Також, Етьєн Безу розвинув метод невизначених множників, в елементарній алгебрі його іменем названий спосіб розв’язання систем рівнянь, заснований на цьому методі. Частина праць Безу присвячена зовнішній балістиці.

Основні роботи Етьєна Безу відносяться до вищої алгебри, вони лягли в основу теорії розв’язання алгебраїчних рівнянь. В теорії розв'язання систем лінійних рівнянь він, одночасно з Г. Крамером, сприяв ідеї використання визначників, розвивав теорію винятку невідомих з систем рівнянь вищих ступенів, довів теорему (вперше сформульовану К. Маклореном) про те, що дві криві порядку m і n перетинаються не більше ніж в m·n точках.

Безу помер в 1783 році в Бас-Логес, Франції, за шість років до Французької революції, революції соціальних, наукових та інтелектуальних знань країни. Але його вплив поширився далеко в наступні століття.

В курсі алгебри дев’ятого класу учні знайомляться з теоремою Безу та наслідками з неї. Можливості, які відкриває перед дев’ятикласниками ця теорема, дозволяють одразу братися за розв’язання таких рівнянь, про я кі раніше годі було й думати. Єволюція знань українського дев’ятикласника є аналогічною до еволюції завоювань в алгебраїчній царині ХVІІ-ХІХ ст., з тією різницею, що пару століть вдається вкласти в пару місяців. Від лінійних до квадратних рівнянь, через теорему Вієта, формули Кардано і Тартальї аж до теореми Безу та основної теореми алгебри – такий шлях долає шкільна програма з алгебри 8-9 класу. Тому в кінці 9 і на початку 10 класу учні можуть розв’язувати рівняння вищих степенів, аналізувати, використовувати параметр під час дослідження відповідних алгебраїчних функцій. Цей методичний матеріал є невичерпним джерелом для підвищення інтересу до вивчення математики, проведення досліджень, порівнянь, наукових експериментів тощо.

Теорема Безу.

Остача від ділення многочлена P(x) на двочлен (x-a) дорівнює Р(а).

Доведення. Нехай P(x) – даний многочлен степеня n, двочлен (x-a) - його дільник, Q(x) – частка від ділення P(x) на x-a (многочлен степеня n-1 ), R – остача від ділення ( R не містить x).

Відповідно до правила ділення многочленів з остачею можна записати :

P (x) = (x-a)Q(x) + R. Звідси при x = a: P(a) = (a-a)Q (a) + R =0·Q(a)+R=0+R=R.

Значить, R = P (a), тобто, остача від ділення многочлена на (x-a) дорівнює значенню цього многочлена при x=a , що і вимагалось довести.

Наслідок 1. Остача від ділення многочлена P(x) на двочлен ax+b дорівнює значенню цього многочлена при

x =- b/a, тобто, R=P(-b/a) .

Доведення. Відповідно до правила ділення многочленів:  P (x)= (ax + b)· Q(x) + R.

При x= -b/a : P(-b/a) = (a(-b/a) + b)Q(-b/a) + R = R. Значить, R = P(-b/a) , що і вимагалось довести.

 Наслідок 2. Якщо а є корнем многочлена P(x) , то цей многочлен делиться на (x-a) без остачі.

Доведення. За теоремою Безу остача від ділення многочлена P(x) на x-a дорівнює  P(a) , а за умовою a є корнем P(x) , а це означає , що P(a) = 0, що і вимагалось довести.

Приймаючи до уваги наслідок 2, стає зрозумілим, що розв’язання рівняння виду Р(х)=0 зводиться до пошуків дільників першого степеня многочлена Р(х).

Наслідок 3. Якщо многочлен P(x) має попарно різні корені a,b,с,d… , то він ділиться на добуток  (x-a)(x-b)… без остачі.

Наслідок 4. Многочлен степеня n має не больше n різних коренів.

Наслідок 5. Для довільного многочлена P(x) і числа a різниця P(x)-P(a) ділиться без остачі на двочлен (x-a).

 

Теорема Безу і наслідки з неї лежать в основі методу розкладання на множники при розв’язуванні рівнянь вищих степенів.

Приклад 1. Розв’язати рівняння х3 - 6х2 + 11х – 6 = 0.

Розв’язання. Оскільки старший коефіцієнт дорівнює 1, то цілими коренями рівняння можуть бути дільники вільного члена, числа -6: ±1; ±2; ±3; ±6. Перевіримо підстановкою, чи є коренем рівняння число1:

f(1)=1-6+11-6=0. Отже, х=1 – корінь рівняння.

 За наслідком 2 з теореми Безу многочлен   х3-6х2+11х-6 без остачі ділиться на х-1.

Після ділення в стовпчик маємо:

х3-6х2+11х-6

х-1

х32

х2-5х+6

   -5 х2+11х

 

   -5 х2+5х

 

             6х-6

 

             6х-6

 

                  0

 

 

Таким чином х 3 - 6х2 + 11х – 6 = (х - 1)( х2 - 5х + 6). Не важко отримати розв’язки рівняння х2 - 5х + 6 = 0 за теоремою Вієта : х=2, х=3.

Отже,  х3 - 6х2 + 11х - 6=(х - 1)(х - 2)(х - 3).

Відповідь: 1,2,3.

 

Приклад  2. Розв’язати рівняння х4 + 2х3 - 7х2 - 4х + 4 = 0.

Розв’язання.  Вільний член число 4 має дільники ±1; ±2; ±4. Підстановкою переконуємось, що коренями даного рівняння є числа -1 і 2. Знайдемо добуток  (х + 1)(х - 2), отримаємо многочлен  х 2 – х - 2, поділимо

х4 + 2х 3 -7х2 - 4х + 4 на х2 – х - 2 в стовпчик:

 

х4+2х3-7х2-4х+4

х2-х-2

х4- х3-2х2

х2+3х-2

    3х3-5х2-4х

 

    3х3-3х2-6х

 

         -2х2+2х+4

 

         -2х2+2х+4

 

                         0

 

 

Розв’яжемо рівняння  х2 + 3х - 2=0. D=9+8=17, тому  х1,2=.

Відповідь. -1; 2; .

Приклад  3. Розв’язати рівняння 4х4 + 8х3 - 3х2 - 7х + 3=0.

Розв’язання.  Розглянувши старший коефіцієнт рівняння число 4 та вільний член число 3, складемо множину раціональних чисел, серед яких можуть бути корені даного рівняння: . Перевіркою встановлюємо, що числа  та  дійсно є коренями рівняння. Помножимо , отримаємо . Тепер поділимо  4 + 8х 3 – 3х 2- 7х+3 на .  Отримаємо є квадратний тричлен 2 + 4х - 4. Рівняння 2+4х-4=0 рівносильне рівнянню х2+х-1=0, яке  має два  ірраціональних корені .

Відповідь. ;;.

Приклад 4. При якому значенні  параметра а многочлен  х3 + 6х2 + ах + 5 ділиться без остачі на  х2 + х + 1?

Розв’язання. Не звертаючи увагу на параметр, виконаємо ділення многочленів:

х3 + 6х2 + ах + 5

х2 + х + 1

х3+ х2+ х

х+5

      5х2+(а-1)х+5

 

      5х2 + 5х + 5

 

                         0

 

Відомо, що остача від ділення дорівнює нулю, значить многочлени

2+(а-1)х+5 та2 + 5х + 5 рівні, звідси а-1=5, а=6.

Відповідь.6.

 

Приклади для самостійного розв’язання.

  1.      х3 + 4х2 + 6х + 3=0. Відповідь. -1.
  2.     х3 - 9х 2+ 23х - 15=0. Відповідь. -1;3;5.
  3.      3 + х2 - 13х + 6=0. Відповідь. -3;1/2;2.
  4.      х3 - х2 - 8х + 12=0. Відповідь. -3;2.
  5.      х4 + 2х3 – 8х- 16=0. Відповідь. -2;2.
  6.     х4 + х3 - 14х2 + 26х - 20=0. Відповідь. -5;2.
  7.      х4 - 3х3 - 14х2 – 20х - 24=0. Відповідь. -2;6.
  8.      2 + 2х)2 - (х + 1)2=55. Відповідь. -4;2.
  9.     2 - 6х)2 - 2(х - 3)2 =81. Відповідь. 3; .
  10.      х(х + 3)(х + 5)(х + 8)+36=0. Відповідь. -6; -2; .
  11.    ( х -2)(х + 1)(х + 4)(х + 7)=19. Відповідь. ; .
  12.    х4 - 7х3 + 8х2 + 14х + 4=0;
  13.   х4 - 3х3 - 6х2 + 12х + 16=0;
  14.   4 + 3х3  - 16х2 + 3х + 2=0;
  15.     х4 + 5х3 - 12х2 + 5х + 1=0;
  16.    х 4 - 4х3 - 13х2 + 28х + 12=0;
  17.   4 + 19х3 - 7х2 - 26х + 12=0;
  18.   4 + 12х3 - 47х2 + 12х + 4=0;
  19.    4 + 9х3 - х2 + 9х + 2=0.
  20.    При яких значеннях  параметрів а і в многочлен х4 – х3 - 9х2 + ах + 2 ділиться без остачі на  х2 + 2х + в?
  21.   При яких значеннях параметрів а і в многочлен 2х3 + ах2 - 8х + в  без остачі ділиться на х2-6х+5?
  22.   При яких значеннях параметрів а і в многочлен х4 + ах3 +вх2+3х - 9  без остачі ділиться на  (х + 3)2?

Література:

  1. В.В. Ясінський. Математика. Навчальний посібник для слухачів ІДН НТУУ «КПІ». – Київ, 2004.
  2. А. В. Кругликов. С.А. Плакса. Збірник завдань для довузівської підготовки з математики. – Київ, 2005.
  3. http://uk.wikipedia.org/
  4. http://festival.1september.ru/articles/579433/
  5. http://bookel.ucoz.ru/page12.htm
  6. http://persons-info.com/persons/BEZU_Eten/

Коментарі

Додати новий коментар

  • Адреси сторінок і електронної пошти атоматично перетворюються у посилання.
  • Дозволені теги HTML: <a> <em> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <dd>
  • Рядки та параграфи відокремлюються автоматично.
  • Search Engines will index and follow ONLY links to allowed domains.

  • Ви можете цитувати інші фрази та коментарі користуючись тегом [quote].
  • You may insert videos with [video:URL]

Детальніше про опції форматування

CAPTCHA
Дайте відповідь на це запитання, щоб ми знали що ви людина, а не тупий робот )
U
e
T
A
8
Z
Уведіть код без пробілів і з врахуванням верхнього/нижнього регістру.
Збір матеріалів Збір матеріалів