Доведення нерівностей

На шкільній олімпіаді з математики серед завдань для учнів 10-х класів було і завдання на доведення нерівності.

Задача. Доведіть, що $  a^2+b^2+1\geq ab+a+b $.

Доведення. Аналіз умови. Нірвність мість дві змінні, що розміщені в умові нерівності симетрично ( заміна $ a $ на $ b $ призведе до такої ж нерівності). Отже, розвязками нерівності є множина пар чисел виду $ (\mp a; \pm b) $. Це дозволяє підібрати кілька пар чисел для перевірки.

Доведення проведемо так. Замінимо $ b $ на $ x $ та розглянемо нерівність з однією змінною $ x $ та параметром $ a $:

$ x^2+a^2+1 \geq ax+x+a $

$ x^2 - ax - x - a + a^2 + 1 \geq 0 $

$  x^2 - x(a+1) + (a^2 - a + 1) \geq 0 $.

Обчислимо дискримінант відповідного квадратного рівняння $  x^2 - x(a+1) + (a^2 - a + 1) = 0 $

$ D = (a+1)^2 - 4 (a^2 - a + 1)= - 3a^2 + 6a - 3 = -3(a^2- 2a + 1)= -3(a-1)^2 $.

Очевидно, що $ D $ набуває лише недодатних значень.

Якщо $ D = 0 $, $ a=1 $, то многочлен $ x^2 - x(a+1) + (a^2 - a + 1) $ тотожно рівний многочлену $  (x-1)^2 $, який набуває лише невід"ємних значень, тому нерівність $ x^2 - x(a+1) + (a^2 - a + 1) \geq 0 $ доведена.
Для випадку від"ємного дискримінанта, $ a\epsilon R $ і нерівність $  x^2 - x(a+1) + (a^2 - a + 1) \geq 0 $ виконується для $ x\epsilon R $.

Отже, і нерівність $ x^2+a^2+1 \geq ax+x+a $ виконується для всіх значень $ a $ та $ x $. Тому і $  a^2+b^2+1\geq ab+a+b $ правильна для вісх значень $ a $ та $ b $. Доведено.

Коментарі

Додати новий коментар

  • Адреси сторінок і електронної пошти атоматично перетворюються у посилання.
  • Дозволені теги HTML: <a> <em> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <dd>
  • Рядки та параграфи відокремлюються автоматично.
  • Search Engines will index and follow ONLY links to allowed domains.

  • Ви можете цитувати інші фрази та коментарі користуючись тегом [quote].
  • You may insert videos with [video:URL]

Детальніше про опції форматування

CAPTCHA
Дайте відповідь на це запитання, щоб ми знали що ви людина, а не тупий робот )
U
P
G
A
j
y
Уведіть код без пробілів і з врахуванням верхнього/нижнього регістру.
Збір матеріалів Збір матеріалів