Извлечение квадратного корня "вручную". Метод Герона.

Метод Герона


        Для начала давайте научимся вычислять квадратный корень (т.е. решать простейшие квадратные уравнения) с помощью арифметических действий. Метод, который мы изложим, был известен ещё в Древней Греции и приписывается Герону Александрийскому. Герон жил в I веке н.э. и описал в своих книгах закон отражения света, формулу вычисления площади треугольника по трём сторонам, многочисленные механизмы. Интересно, что и в наше время метод Герона используется некоторых вычислительных машинах (может быть, и в вашем калькуляторе!). Обратимся к тексту самого Герона. Он объясняет свой метод на примере: пусть надо найти корень из 720.

Так как 720 не имеет рационального корня, то возьмем корень с очень малой погрешностью следующим образом. Так как ближайший к 720 квадрат есть 729, и оно имеет корнем 27, то раздели 720 на 27. Получается $ 26\frac{2}{3} $.

$ 26\frac{2}{3}+27=53\frac{2}{3} $. Разделим результат на 2, получим $ 26\frac{5}{6} $. Это и есть результат. Если возвести это число в квадрат, получим $ 720\frac{1}{36} $. Погрешность составляет 1/36 единицы. Но при желании погрешность может быть и меньшей. Для уменьшения величины погрешности процедуру следует проделать ещё и ещё раз с вновь полученой величиной. В нашем случае с числом $ 720\frac{1}{36} $.

В этом тексте Герона содержатся три идеи:


1) как выбирать начальное приближение;
2) как производить уточнение;
3) процесс можно повторять (итерировать).


        Начнём со второй идеи. Пусть нам надо вычислить $ \sqrt{a} $. Если выбранное нами приближение x0 меньше истинного значения корня, то число $ \frac{a}{x_0} $ - больше, и наоборот.
Поэтому их полусумма $ \frac{1}{2}(x_0+\frac{a}{x_0}) $ будет ближе к искомому корню, чем $ x_0 $. Обозначим её за $ x_1 $.


      Теперь третья идея: если полученной точности нам недостаточно, то можно повторить весь процесс уточнения, начиная уже с величины $ x_1 $:           
$ x_2=\frac{1}{2}(x_1+\frac{a}{x_1}) $.
     Уточнения можно повторять и дальше, пока мы не достигнем нужной точности. Видим, что для достижения результата нужно проводить вычисления по одной и той же формуле. Такие однотипные вычисления называются итерациями. Если значение корня стремится к некоторому числу $ b $, то говорят, что итерационный процесс сходится к числу $ b $.


     Наконец, первая идея: Герон предлагает выбирать в качестве $ x_0 $ число с ближайшим к a квадратом. Но его можно выбирать и из каких-то других соображений. Более того, если вы выбрали x0>0 неудачно - далеко от корня, то процесс всё равно будет сходиться к корню, только потребуется больше шагов.


Замечательное замечание.  Не трудно придумать аналог метода Герона для поиска кубических корней числа:

$ x_1= \frac{1}{2}(x_0+\frac{a}{x^2_0}) $.

Коментарі

Додати новий коментар

  • Адреси сторінок і електронної пошти атоматично перетворюються у посилання.
  • Дозволені теги HTML: <a> <em> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <dd>
  • Рядки та параграфи відокремлюються автоматично.
  • Search Engines will index and follow ONLY links to allowed domains.

  • Ви можете цитувати інші фрази та коментарі користуючись тегом [quote].
  • You may insert videos with [video:URL]

Детальніше про опції форматування

CAPTCHA
Дайте відповідь на це запитання, щоб ми знали що ви людина, а не тупий робот )
j
Q
b
h
K
P
Уведіть код без пробілів і з врахуванням верхнього/нижнього регістру.
Збір матеріалів Збір матеріалів