Формула Кардано

Джерола́мо (Джироламо, Иероним) Карда́но (лат. Hieronymus Cardanus, итал. Girolamo Cardano, Gerolamo Cardano; 24 сентября 1501, Павия - 21 сентября 1576, Рим) - итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог, изобретатель карданного вала. Побочный сын адвоката Фачио (Facio) Кардано.

С юности Джероламо обуревала жажда славы. На склоне лет он писал в своей автобиографии:

Цель, к которой я стремился, заключалась в увековечении моего имени, поскольку я мог этого достигнуть, а вовсе не в богатстве или праздности, не в почестях, не в высоких должностях, не во власти.

Учился в университетах Павии и Падуи. Занимался сначала исключительно медициной, но в 1534 стал профессором математики в Милане, позже - в Болонье, хотя доходное врачебное занятие не бросил и завоевал репутацию одного из лучших европейских врачей. Подрабатывал также составлением астрологических альманахов и гороскопов.

За составление и публикацию гороскопа Иисуса Христа был обвинён в ереси (1570), провёл несколько месяцев в тюрьме и был вынужден уехать в Рим просить у Папы отпущение грехов.

Женился в 1531 году. Старший сын Кардано был осуждён за убийство изменницы-жены и казнён (1560), из-за чего Кардано и переехал в Болонью. Младший сын стал игроком и воровал деньги у отца.

Согласно легенде, Кардано предсказал день своей смерти и, чтобы оправдать своё предсказание, покончил с собой.

Формула Кардано

Если воспользоваться современным математическим языком и современной символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарных соображений:
Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:
$ ax^3 + 3bx^2 + 3cx + d = 0 $.                                                       (1)

Если положить $ x = y - \frac{b}{a} $, то мы приведем уравнение (1) к виду
$ y^3 + 3py + 2q = 0 $,                                                                      (2)

где

$ p = \frac{c}{a} - \frac{{b^2 }}{{a^2 }} $, $ 2q = 2\frac{{b^3 }}{{a^3 }} - 3\frac{{bc}}{{a^2 }} + \frac{d}{a} $.
Введем новое неизвестное u с помощью равенства

$ y = u - \frac{p}{u} $.
Внося это выражение в (2), получим
$ (u^3 )^2 + 2qu^3 - p^3 = 0 $.                                                (3)

Отсюда
$ u^3 = - q \pm \sqrt {q^2 + p^3 }  $,

следовательно,
$ y = \sqrt[3]{{ - q \pm \sqrt {q^2 + p^3 } }} - \frac{p}{{\sqrt[3]{{ - q \pm \sqrt {q^2 + p^3 } }}}} $.

Если числитель и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение $ \sqrt[3]{{ - q \pm \sqrt {q^2 + p^3 } }} $ и учесть, получающееся в результате выражение для u оказывается симметричным относительно знаков «+» и «-», то окончательно получим
$ y = \sqrt[3]{{ - q + \sqrt {q^2 + p^3 } }} + \sqrt[3]{{ - q - \sqrt {q^2 + p^3 } }} $.

(Произведение кубических радикалов в последнем равенстве должно равняться p).
Это и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от y вновь к x, то получим формулу, определяющую корень общего уравнения 3-й степени.

Коментарі

Додати новий коментар

  • Адреси сторінок і електронної пошти атоматично перетворюються у посилання.
  • Дозволені теги HTML: <a> <em> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <dd>
  • Рядки та параграфи відокремлюються автоматично.
  • Search Engines will index and follow ONLY links to allowed domains.

  • Ви можете цитувати інші фрази та коментарі користуючись тегом [quote].
  • You may insert videos with [video:URL]

Детальніше про опції форматування

CAPTCHA
Дайте відповідь на це запитання, щоб ми знали що ви людина, а не тупий робот )
C
W
q
G
b
K
Уведіть код без пробілів і з врахуванням верхнього/нижнього регістру.
Збір матеріалів Збір матеріалів