Ланцюгові дроби. Програма факультативного курсу для учнів 9-го класу

 

1.    Відомості про укладача:

Прізвище, ім'я, по батькові

Кирдей Ірина Дмитріївна

Місце роботи

Спеціалізована природничо-математична школа І-ІІІ ступенів № 16 ім. М.О. Кириленка

Посада

Вчитель математики, заступник директора школи з навчально-виховної роботи

Наукові або педагогічні звання

Вчитель-методист

Адреса для листування

09100, Київська обл., м. Біла Церква, вул. Зелена, 21

Електронна адреса

iii2005@yandex.ru



 

 

2.    Назва програми:

 

«Вступ до теорії чисел. Ланцюгові дроби та їх застосування»

 

Програма факультативного курсу для допрофільної математичної підготовки учнів 9-го класу природничо-математичного профілю загальноосвітніх навчальних закладів

 

3.    Пояснювальна записка.

Реалізуючи основну мету курсу математики в середній школі, необхідно водночас створювати умови для розвитку кожної особистості з урахуванням її нахилів та природних обдарувань. Застосування варіативного компоненту навчального плану загальноосвітньої школи відкриває для цього достатньо можливостей. Розширення кола спецкурсів, факультативів та курсів за вибором дозволяє ознайомити учнів із деякими загальними математичними ідеями, показати роль застосування математики у практичній діяльності.

            До основних понять математики відноситься і поняття числа. Від того, наскільки добре усвідомлює учень природу числа, взаємозв'язки між числовими множинами, знає та розуміє властивості чисел залежить загальний рівень його математичних компетентностей.

           Факультативний курс «Вступ до теорії чисел. Ланцюгові дроби та їх застосування»  розра­хо­ваний на учнів 8 класу і має за мету ознайомлення учнів з такими розділами математики, які дозволяють суттєво розширити дослідницький потенціал обдарованої дитини, поглибити її знання  про основні положення та поняття теорії чисел, на яких базується вивчення багатьох інших розділів природничих дисциплін, підвищити інтерес до вивчення предмета, показати роль ланцюгових дробів у розв'язуванні прикладних задач математики, фізики, хімії, астрономії, природознавства.

           Теоретичною основою факультативу є основи теорії подільності, теореми теорії чисел, алгоритм Евкліда, властивості складених чисел, особливості розкладу як раціональних так і ірраціональних  чисел у ланцюговий дріб, поняття про рівняння з двома змінними та його розв'язок.

Зміст програми курсу органічно пов'язаний зі змістом основного навчального матеріалу шкільного курсу математики і водночас має самостійний характер.

а) Мета та завдання факультативного курсу.

l                    створення умов для розвитку природних математичних здібностей та обдарувань кожної особистості з урахуванням її вікових особливостей;

l                    оволодіння учнями системою математичних знань, навичок і умінь, в тому числі пов'язаних із використанням інформаційних технологій, достатніх для успішного оволодіння іншими освітніми галузями знань;

l                    підвищення математичної, інформаційної, алгоритмічної та графічної культури школярів, розвиток в учнів логічного мислення, просторової уяви, пам'яті, уваги;

l                    інтелектуальний розвиток учнів, формування в них абстрактно-логічного, наочно-образного типів мислення;

l                    формування в учнів наукового світогляду, уявлень про ідеї та методи математики, усвідомлення математичних знань як невід'ємної складової загальної культури людини, необхідної для повноцінного життя в сучасному суспільстві;

l                    формування в учнів стійкої позитивної мотивації до навчання та позитивних рис особистості;

l                    задоволення потреби у допрофільній математичній підготовці учнів.

 

б) характеристика структури навчальної програми.

 

Програму складено відповідно до вимог Державного стандарту базової і повної середньої освіти.

Програма розрахована на 35 годин  навчального часу із тих годин варіативної складової Типового робочого навчального плану, що призначені для вивчення факультативів та спецкурсів з математики для математичного, фізичного та фізико-математичного профілів навчання.  Її матеріал розподілено  за такими змістовими лініями: числа; рівняння ; функції.

Програма містить чотири теми. Кожна з чотирьох тем розкривається через сукупність теоретичних та практичних навчальних занять. Основна увага приділяється практичній спрямованості курсу (відношення теоретичних та практичних занять складає 2:3), тому дозволяє навчити учнів основним прийомам розв'язування деяких типів конкурсних та олімпіадних задач.

Розподіл змісту і навчального часу є орієнтовним. Вчителям надається право коригувати його залежно від прийнятої методичної концепції та конкретних навчальних ситуацій. На основі чіткого тематичного плану вчитель розробляє календарно-тематичний план.

Програмою передбачено резерв навчального часу, а також години для повторення, узагальнення й систематизації вивченого матеріалу, вивчення історичного аспекту розвитку питань, що вивчаються. Програма представлена у формі таблиці, що містить дві колонки: зміст навчального матеріалу і навчальні досягнення учнів. У змісті вказано навчальний матеріал, який підлягає вивченню. Вимоги до навчальних досягнень учнів орієнтують на результати навчання, які також є і об'єктом контролю та оцінювання.

Пропонована програма факультативного курсу узгоджена з програмою рівня стандарту.

 

в) особливості організації навчання.

          

У природничих науках математика є не лише  галуззю загальноосвітніх знань, а й методом наукового пізнання. Тому навчання математики в класах природничо-математичного профілю вимагає більш поглибленого, у порівнянні з академічним, рівня її вивчення. Разом з тим,  курс математики для цих класів  відрізняються від академічного не стільки обсягом знань, якими мають оволодіти учні, скільки рівнем його обгрунтованості, абстрактності, загальності, прикладної спрямованості.

З метою створення необхідних умов для більш повної реалізації освітньої, розвивальної та виховної складових навчання математики, врахування інтересів, здібностей, потреб та можливостей учнів, у профільних природничо-математичних класах у повному обсязі має бути використаний потужний потенціал варіативної складової навчального плану, яка передбачає вивчення факультативних курсів.

Саме таку мету переслідує пропонована програма факультативного курсу «Вступ до теорії чисел. Ланцюгові дроби та їх застосування».

Цей курс складається з невеликих за змістом навчальних модулів, враховує різноманіття інтересів і можливостей учнів, поглиблює та розширює основний курс математики у відповідності до обраного профілю навчання та сприяє розвитку математичних знань та умінь у прикладних сферах діяльності, знайомить учнів з основами майбутніх професійних знань.

При викладанні даного факультативного курсу у класах природничо-математичного профілю вчитель покликаний створювати такі навчальні ситуації, в яких самі учні самостійно опановують системою математичних знань, умінь та навичок.

Саме тому в програмі приділяється багато уваги історії розвитку поняття про число, наведено визначні в історії математики практичні задачі, що призвели до виникнення поняття ланцюгового дробу, підхідних дробів, діофантових рівнянь та пошуку методів їх розв'язання. Це дасть змогу не тільки поповнити історично-наукові знання учнів, а і сприятиме формуванню уявлення в них про філософський зміст числа, його роль у розвитку загальнолюдської культури.            

Процес проведення занять рекомендується будувати так, щоб співбесіди, консультації, інтерактивне опитування, робота з педагогічними програмними засобами та інші методи організації праці під керівництвом учителя, навчили учня вчитися, зініціювали його самостійну роботу, показали, як знаходити потрібну інформацію в науково-популярній, навчальній та довідковій літературі, інформаційних базах різних типів, в мережі Інтернет.

Програма дозволить підвищити свої шанси на успіх учасникам олімпіад та конкурсів, а також буде корисною всім, хто цікавиться елементарною математикою.

 

 

4.    Розподіл навчального часу.

№ з\п

Тема

Кількість годин

  1.

Тема І. Вступ до теорії чисел.

2

2.

Тема ІІ. Ланцюгові дроби та наближення раціонального числа.

 

14

3.

Тема ІІІ. Застосування ланцюгових дробів до наближених обчислень ірраціональних чисел.

 

9

4.

Тема ІV. Застосування властивостей ланцюгових дробів до розв'язування рівняння ax+by=c.

 

10

Разом

35

 

 

5.    Зміст навчального матеріалу та вимоги до рівня навчальних досягнень учнів.

Кількість годин

Тема, зміст навчального матеріалу

Вимоги до рівня навчальних досягнень учнів

2

Тема І. Вступ до теорії чисел.

 

Завдання і методи теорії чисел. Числові множини. Історичний розвиток поняття про число.

Описує завдання  теорії чисел.

Пояснює хронологічну послідовність розвитку поняття числових множин.

Вміє виконувати цілеспрямований пошук та сортування інформації в науково-методичній літературі, інформаційних базах різних типів, на спеціалізованих сайтах мережі інтернет.

14

Тема ІІ. Ланцюгові дроби та наближення раціонального числа.

 

Подільність цілих чисел. Ділення з остачею. Найбільший спільний дільник двох чисел.  Різні способи знаходження НСД. Алгоритм Евкліда. Властивості НСД. Основні теореми про подільність. Означення ланцюгового дробу. Запис раціонального числа у вигляді ланцюгового дробу. Розклад числа в ланцюговий дріб за допомогою алгоритму Евкліда. Підхідні дроби та їх властивості. Наближення раціонального числа за допомогою підхідних дробів. Ланцюгові дроби і календар.

Формулює ознаки подільності чисел; означення НСД двох чисел, означення ланцюгового дробу. 

Знаходить НСД двох чисел різними способами; підхідні дроби для даного ланцюгового  дробу.

Користується ознаками подільності чисел, алгоритмом Евкліда.

Описує алгоритм знаходження підхідних дробів для даного ланцюгового дробу.

Встановлює послідовність перетворення раціонального числа у ланцюговий дріб.

Виконує і пояснює наближення раціонального числа за допомогою ланцюгового дробу із заданою точністю.

Досліджує  одержані результати для розв'язання задач практичного змісту.

Використовує розклад числа у ланцюговий дріб для оцінки значень величин із заданим порядком точності.

9

Тема ІІІ. Застосування ланцюгових дробів до наближених обчислень ірраціональних чисел.

 

Запис ірраціонального числа у вигляді ланцюгового дробу. Число  π та різні ступені його наближення за допомогою ланцюгових дробів. Різні способи представлення ірраціонального числа у вигляді ланцюгового дробу. „Золотий переріз",  наближене значення τ. Застосування властивостей ланцюгових дробів до розв'язування задач.  Розв'язування нетипових видів рівнянь. Розрізання прямокутника заданих розмірів на квадрати. Комбінація провідників різних опорів. Задача оптимізації кутової швидкості обертання.

Формулює означеня ряду Фібоначчі, знає його властивості, розуміє поняття «золотого перерізу».

Знаходить підхідні дроби для ланцюгового  дробу даного ірраціонального числа.

Користується властивостями ірраціональних чисел.

Описує алгоритм знаходження підхідних дробів даного ланцюгового дробу даного ірраціонального числа.

Встановлює послідовність перетворення ірраціонального числа у ланцюговий дріб.

Виконує і пояснює наближення ірраціонального числа за допомогою ланцюгового дробу із заданою точністю.

Досліджує  одержані результати для розв'язання задач практичного змісту.

Використовує розклад числа τ та числа π у ланцюговий дріб із заданим порядком точності та використосує його у практичних задачах.

10

Тема ІV. Застосування властивостей ланцюгових дробів до розв'язування діофантових рівнянь.

 

Діофантові рівняння. Необхідна умова існування розв'язку рівняння ax+by=c. Залежність між загальним розв'язком рівняння ax+by=c та підхідними дробами розкладу a/b . Задачі, що зводяться до розв'язування діофантових рівнянь. Рівняння виду x2-Ay2=1  та всі його розв´язки. Загальний випадок розв´язання діофантових рівняннь другого степеня з двома невідомими. Узагальнення та систематизація методів розв´язування діофантових рівнянь першого та другого степенів.

Формулює означення діофантового рівняння першого степеня з двома змінними, розуміє, що означає знайти його розв'язок.

Користується необхідною умовою існування розв'язку рівняння  ax+by=c.

Описує алгоритм знаходження розв'язку рівняння ax+by=c за допомогою розкладу дробу розкладу a/b у ланцюговий дріб.

Знаходить розв'язки рівняння ax+by=c за допомогою  ланцюгового  дробу.

Досліджує  одержані результати та пояснює випадки, у яких дане рівняння не має розв'язків.

Складає математичну модель задачі, що зводиться до розв'язання діофантового рівняння виду ax+by=c.

Формулює означення діофантового рівняння другого степеня з двома змінними, розуміє, що означає знайти його розв'язок.

Користується загальним випадком розв'язання рівняння  x2-Ay2=1.

Описує алгоритм знаходження розв'язку рівняння x2-Ay2=1  допомогою ланцюгового дробу.

Знаходить розв'язки рівняння x2-Ay2=1 за допомогою  ланцюгового  дробу.

Складає математичну модель задачі, що зводиться до розв'язання діофантового рівняння виду x2-Ay2=1.

Досліджує  одержані результати та пояснює випадки, у яких дане рівняння не має розв'язків.

 

 

6.    Орієнтовне календарно-тематичне планування факультативного курсу.

№ заняття

Дата

Тема та  зміст заняття

Тема І. Вступ до теорії чисел.

1

 

Завдання і методи теорії чисел. Числові множини.  

2

 

Історичний розвиток поняття про число.

Тема ІІ. Ланцюгові дроби та наближення раціонального числа.

3

 

Подільність цілих чисел. Ділення з остачею. Найбільший спільний дільник двох чисел.  Різні способи знаходження НСД.

4

 

Алгоритм Евкліда.

5

 

Властивості НСД.

6

 

Основні теореми про подільність.

7

 

Означення ланцюгового дробу.

8

 

Запис раціонального числа у вигляді ланцюгового дробу.

9

 

Розв´язування задач.

10

 

Розклад числа в ланцюговий дріб за допомогою алгоритму Евкліда.

11

 

Розв´язування задач.

12

 

Підхідні дроби та їх властивості.

13

 

Розв´язування задач.

14

 

Наближення раціонального числа за допомогою підхідних дробів.

15

 

Розв´язування задач.

16

 

Ланцюгові дроби і календар.

Тема ІІІ. Застосування ланцюгових дробів до наближених обчислень ірраціональних чисел.

17

 

Запис ірраціонального числа у вигляді ланцюгового дробу.

18

 

Число  π та різні ступені його наближення за допомогою ланцюгових дробів.

19

 

Різні способи представлення ірраціонального числа у вигляді ланцюгового дробу

20

 

„Золотий переріз",  наближене значення τ.

21

 

Застосування властивостей ланцюгових дробів до розв'язування задач. 

22

 

Розв'язування нетипових видів рівнянь.

23

 

Розрізання прямокутника заданих розмірів на квадрати.

24

 

Комбінація провідників різних опорів.

25

 

Задача оптимізації кутової швидкості обертання.

Тема ІV. Застосування властивостей ланцюгових дробів до розв'язування Застосування властивостей ланцюгових дробів до розв'язування діофантових рівнянь.

26

 

Діофантові рівняння.

27

 

Необхідна умова існування розв'язку рівняння ax+by=c.

28

 

Залежність між загальним розв'язком рівняння ax+by=c та підхідними дробами розкладу a/b.

29

 

Задачі, що зводяться до розв'язування діофантових рівнянь виду ax+by=c.

30

 

Розв´язування задач.

31

 

Рівняння виду x2-Ay2=1 та всі його розв´язки.

32

 

Задачі, що зводяться до розв'язування діофантових рівнянь виду x2-Ay2=1.

33

 

Загальний випадок розв´язання діофантових рівняннь другого степеня з двома невідомими.

34

 

Розв´язування рівнянь.

35

 

Узагальнення та систематизація методів розв´язування діофантових рівнянь першого та другого степенів.

 

 

7.    Література.

 

1.     Арнольд В.И. Цепные дроби. - М.: МЦМНО, 2001. - 40 с.

2.     Арнольд В.И. Задачи для детей от 5 до 15 лет. - М.: МЦНМО,   2004.

3.     Научно-популярный журнал „Квант". - М.:МЦМНО,  № 1,   1970./ Бескид Н.М. Цепные дроби.

4.     Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых числах, 4 изд., М., 1978.

5.     Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах (перевод с древнегреческого И. Н. Веселовского; редакция и комментарии И. Г. Башмаковой). М., «Наука», 1974.

6.     Болтянский В.Г., Левитас Г.Г. Целые числа и действия над ними. Дополнительные главы по курсу математики 7-8 классов для факультативных занятий. - М.: „Просвещение", 1969 г. - 246 с.

7.     Бородін О.І. Теорія чисел.-К.: Радянська школа, 1965. - 262 с.

8.     Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики. - К.: Радянська школа, 1979. - 607 с.

9.     Виленкин Н.Я., Гутер Р.С., Шварцбурд С.И., Овчинский Б.В., Ашкинузе В.Г, Алгебра. - Учебное пособие для 9-10 классов средних школ с математической специализацией. - М.: Просвещение, 1972. - 302 с.

10. Лейфура В.М. Задачі з цілими числами. - Харків, „Основа", 2003. - 144 с.

11. Сергеев И.Н., Олейник С.Н., Машков С.Б. Примени математику. - М.: Наука, 1989.

12. Хинчин А.Я. Цепные дроби. - М.: Наука, 1978. - 234 с.

13. Хинчин А.Я. Три жемчужины теории чисел. -М.: Наука, 1979.

14. http://uk.wikipedia.org/wiki/ Ланцюгові дроби.

15. http://ega-math.narod.ru/Liv/Diophant.htm

16. http://www.eunnet.net/books/numbers/text/7.html Цепные дроби.

17. http://www.kvant.mirror0.mccme.ru/1970/01/cepnye_drobi.htm Научно-популярный физико-математический журнал  „Квант", № 1, 1970 г., Бескид Н. Цепные дроби.

18. http://virlib.eunnet.net/books/numbers/text/7.html  Цепные дроби.

19.  http://www.osp.ru/school/1999/07/19.htm   Широков Ф. Забытое исчисление (в мире цепных дробей).

20.  http://www.webmath.ru/web.php. Web-решение задач по математике.

21.  Апостолова Г.В., Ліпчевський Л.В.,- «Планета цілих чисел», електронний навчально-методичний комплекс з математики.- Біла Церква.: КОІПОПК, 2009.

 

Коментарі

Додати новий коментар

  • Адреси сторінок і електронної пошти атоматично перетворюються у посилання.
  • Дозволені теги HTML: <a> <em> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <dd>
  • Рядки та параграфи відокремлюються автоматично.
  • Search Engines will index and follow ONLY links to allowed domains.

  • Ви можете цитувати інші фрази та коментарі користуючись тегом [quote].
  • You may insert videos with [video:URL]

Детальніше про опції форматування

CAPTCHA
Дайте відповідь на це запитання, щоб ми знали що ви людина, а не тупий робот )
6
m
s
V
V
M
Уведіть код без пробілів і з врахуванням верхнього/нижнього регістру.
Збір матеріалів Збір матеріалів